С 1956 по 1962 год Рыбников учился в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории. В 1962 году поступил в Московскую консерваторию, по классу композиции учился у А. И. Хачатуряна. В 1967 году с отличием окончил консерваторию, а в 1969 году — аспирантуру по классу этого же композитора.
С 1969 по 1975 год Алексей Рыбников преподавал в Московской консерватории на кафедре композиции.
Алексей Рыбников — автор музыки к многочисленным кинофильмам, музыкальным спектаклям, а также рок-опер «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты» и «Юнона и Авось» (по поэме А. Вознесенского), поставленных в Московском театре им. Ленинского комсомола.
В 1982 году снят полнометражный фильм по рок-опере. Главные роли исполнили: Андрей Харитонов (Хоакин), Алёна Беляк (Тереса) и Александр Филиппенко (Смерть). Вокальные партии Хоакина и Смерти исполнил Геннадий Трофимов. Несколько произведений к фильму записала рок-группа «Интеграл» Бари Алибасова, музыканты сыграли роль рейнджеров в экранизации рок-оперы. Это первый русский мюзикл, воплощенный в трёх формах: выпущен альбом, поставлен спектакль, и снят кинофильм.
В 1979 году Алексей Рыбников был признан Всесоюзным хит-парадом самым популярным композитором года и награждён премией за лучшую музыку к кинофильму на Московском международном кинофестивале. В 1989 году общий тираж проданных дисков с музыкой А. Рыбникова превысил 10 миллионов экземпляров.
В 1988 году Алексей Рыбников основал Производственно-творческое объединение «Современная опера» при Союзе композиторов СССР. В 1992 году здесь была представлена публике музыкальная мистерия А. Рыбникова «Литургия оглашенных».
В конце 1994 — начале 1995 года с большим успехом прошли гастроли театра «Современная опера» в США. Вице-президент «Юниверсал Пикчерз» Н. Райс высоко оценил «Литургию оглашенных», заметив, что «эта блестящая музыкальная драма — без сомнения, художественное достижение высочайшего уровня, уникальное в своем мастерском соединении музыки, либретто и театральных эффектов».
В 1999 году Постановлением Правительства Москвы при комитете по культуре Москвы был создан Театр Алексея Рыбникова.
В 2000 году в Государственном доме радиовещания и звукозаписи состоялся премьерный показ сцен из новой музыкальной драмы А. Рыбникова «Маэстро Массимо» («Оперный дом»).
С 26 июля 2010 года — член Патриаршего совета по культуре (Русская православная церковь).
В 2010—2011 годах композитор написал современную оперу «Война и мир» на основе романа Льва Толстого «Война и мир». Опера создана на основе либретто, написанного самим композитором, и получила рабочее название «Живые картины времён Александра I и Наполеона Бонапарта по роману графа Льва Толстого „Война и мир“». Фрагменты оперы были представлены в спектакле театра Алексея Рыбникова «Аллилуйя любви» в сентябре 2012 года, премьера запланирована на 2013 год.
Живёт и работает в Москве.
Семья
Супруга — Татьяна, окончила МГУ.
Дочь — Анна, кинорежиссёр.
Сын — Дмитрий (род. 23 декабря 1976 года), композитор, музыкант.
Рок-оперы
1975 — «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты»
1979 — «Юнона и Авось»
2010—2011 — «Война и мир»
Музыка к фильмам
Кинофильмы
Всадник над городом
1968 — Три дня Виктора Чернышёва
День и вся жизнь
Остров сокровищ
1972 — Без трёх минут ровно
Сто шагов в облаках — короткометражный
Большое космическое путешествие
1974 — Пётр Мартынович и годы большой жизни
Приключения Буратино
Потрясающий Берендеев
Когда дрожит земля
Дневник Карлоса Эспинолы
Дневной поезд
Обратная связь
Про Красную Шапочку
Исчезновение
Усатый нянь
1978 — Иванцов, Петров, Сидоров…
Новые приключения капитана Врунгеля
Шла собака по роялю
Примите телеграмму в долг
Чужая компания
Тот самый Мюнхгаузен
Вам и не снилось
Желаю успеха
Ночное происшествие
1980 — Полёт с космонавтом
1980 — Через тернии к звёздам
Мнимый больной
1981 — Руки вверх!
Василий Буслаев
Звезда и смерть Хоакина Мурьеты
Мать Мария
1982 — Сказки… сказки… сказки старого Арбата
1982 — Срочно… Секретно… Губчека
Карантин
Магистраль
1983 — Оглянись!…
Серафим Полубес и другие жители Земли
1983 — Сказка о Звёздном мальчике
Вера. Надежда. Любовь
1984 — Нам не дано предугадать…
