Ортогональные системы функций

Тема 4. Тригонометрические ряды Фурье

 

Периодические функции и их свойства

 

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: колебательными движениями деталей машин, приборов, движением небесных тел и элементарных частиц, электромагнитными колебаниями и т.д. Математически такие процессы описываются периодическими функциями.

Функция f (x), определенная на всей числовой оси, кроме, может быть, некоторых точек, называется периодической с периодом Т, если существует такое число Т≠0, что для любого значения х из области определения функции выполняется равенство:

f (x + T) = f (x).

Если число Т является периодом функции f (x), то число Т·п при любом целом п так же будет периодом этой функции.

Наименьший из положительных периодов данной функции называют основным периодом функции.

Например, любую константу можно рассматривать как периодическую функцию с каким угодно периодом. Наиболее известными периодическими функциями с периодом Т = 2π являются тригонометрические функции у = sin х, у = cos х..

Свойства периодических функций

1. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом   Т есть периодическая функция с тем же периодом.

2. Если функция f (x) имеет период Т, то функция f (a · x) имеет период , где а ≠0, а = const.

Например, так как функции y = sin x, y = cos x являются периодическими с периодом Т=2π, то функции y = sin kx и y = cos kx также являются периодическими и имеют период . Функции y = sin kx и у = cos kx называют «простыни гармониками».

3. Определенный интеграл от периодической функции по отрезку, который равен периоду, не зависит от положения отрезка интегрирования на оси, т.е. если f (x) = f (x + T), тo .

Геометрически для неотрицательных функций это свойство означаетравенство площадей закрашенных областей фигур (рисунок 2).

Рисунок 2

Ортогональные системы функций

Рассмотрим несколько вспомогательных понятий, которые потребуются нам в дальнейшем.

Функции f (x) и φ(х) называются ортогональными на отрезке [ а, b ], если они определены, интегрируемы на этом отрезке и выполняется равенство

.

Например, рассмотрим функции f (x)= х и на отрезке [0, l]. Они определены и непрерывны на отрезке [0;1]. Найдем определенный интеграл от произведения этих функций по указанному отрезку:

.

Следовательно, функции f (x) = x и ортогональны на отрезке [0,l].

Система функций f,(x), f ₂ (x),…, f_n (x) называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если любые две различные функции ортогональны, т.е.

В качестве примера приведем систему {1, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x,..., cos nx, sin nx,... }, п ÎZ,которая является ортогональной системой функций на отрезке [-π, π], т.е. является ортогональной системой на отрезке, равном периоду этих функций.