Мы знаем, что конечная сумма непрерывных функций непрерывна; сумма дифференцируемых функций дифференцируема, причем производная суммы равна сумме производных; конечную сумму можно интегрировать почленно.
Оказывается, для «бесконечных сумм» функций – функциональных рядов в общем случае свойства не имеют места.
Например, рассмотрим функциональный ряд
Очевидно, что все члены ряда – непрерывные функции. Найдем область сходимости этого ряда и его сумму. Для этого найдем частичные суммы ряда
,
тогда сумма ряда
Таким образом, сумма S (х)данного ряда, как предел последовательности частичных сумм, существует и конечна при х Î (-1;1),значит, этот промежуток является областью сходимости ряда. При этом его сумма является разрывной функцией, так как
Итак, этот пример показывает, что в общем случае свойства конечных сумм не имеют аналога для бесконечных сумм – рядов. Однако для частного случая функциональных рядов – степенных рядов – свойства суммы аналогичны свойствам конечных сумм.
Свойства сходящихся степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
Для него справедливо
1. Сумма степенного ряда непрерывна в интервале сходимости ряда.
2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости, т.е.
- сумма ряда S (х) дифференцируема в интервале сходимости;
- ряд, составленный из производных членов ряда
сходится в интервале сходимости исходного ряда, причем его сумма
равна S ¢ (х).
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку 
, принадлежащему интервалу сходимости, т.е.
В частности, очевидно, что степенной ряд 
можно почленно интегрировать по отрезку [0 ,х ]для любого х из интервала сходимости ряда. При этом получим
.
Заметим, что ряды, полученные из данного степенного ряда почленным дифференцированием или интегрированием, являются так же степенными рядами, сходящимися в том же интервале, что и исходный ряд.
Из приведенных свойств следует, что степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, причем получающиеся при этом ряды имеют тот же интеграл сходимости, а суммы соответственно равны S '(х), S "(х), S "(х),.... Аналогичное утверждение можно сформулировать для почленного интегрирования ряда.
Пример 22
Найти сумму ряда 
Решение.
Данный ряд является степенным по степеням х, центр сходимости х 0=0, числовой коэффициент ап = п. Найдем радиус и интервал сходимости ряда:
,
следовательно, интервал сходимости х Î (–1;1).
Обозначим за S (х) сумму данного ряда и проинтегрируем ряд почленно по отрезку [0; x ]для любого х из интервала сходимости ряда:
Полученный ряд составлен из членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = х и первым членом а= х.
Нам известно, что при знаменателе | q | <1сумма бесконечной геометрической прогрессии 
. Таким образом, при | х | < 1
Чтобы найти искомую сумму ряда S (х), необходимо продифференцировать полученное равенство
.
Итак, внутри интервала сходимости степенной ряд 
сходится к функции 
, т.е. = 
для х Î (–1;1).
