Обработка результатов наблюдений и оценивание погрешностей измерений

Оценку погрешности результата измерения выполняют при разра­ботке методики выполнения измерений (МВИ). Источниками погрешностей являются модель объекта измерений (ОИ), метод изме­рения (МВИ), средство измерения (СИ), оператор связи измеряемых и вычисляемых физических величин, влияющие факторы условий измерений, алгоритм об­работки результатов наблюдений.

Как правило, погрешность результате измерения оценивается при доверительной вероятности Р - 0,95.

При выборе значения Р необходимо учитывать степень важности (ответственности) результата измерений. Например, если ошибка в изме­рении может привести к гибели людей или к тяжелым экологическим по­следствиям, значение Р должно быть увеличено.

1. Измерения с однократными наблюдениями. За результат изме­рения в этом случае принимают результат однократного наблюдения х (с введением поправки, если она имеется), используя предварительно полу­ченные (например, при разработке МВИ) данные об источниках, состав­ляющих погрешность.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП)  результата измерения Ө(Р) вычисляют по формуле:

где k(P) - коэффициент, определяемый принятой Р и числом m, состав­ляющих НСП: Ө(Р) - найденные нестатистическими методами границы j-ой составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом интервале). При Р = 0,90 и 0,95 k(P) равен 0,95 и 1,1, соответственно при любом числе слагаемых Ш| При Р - 0,99 значения k(P) следующие (табл. 3.1):

Таблица 3.1. значения коэффициентов k(P)

m	k(P)	m	k(P)
5 и более	1,45	3	1,3
4	1,4	2	1,2

 

Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы дове­рительными границами Θ(Р), то доверительную границу НСП результата измерения вычисляют по формуле:

,                                                               (3.1.)

где k и k_j - те же, что и в предыдущем случае, коэффициенты, соответст­вующие доверительной вероятности Р и P_j соответственно; m_j - число со­ставляющих НСП.

Среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерения с однократным наблюдением вычисляют одним из следующих способов.

Если в технической документации на СИ или в МВИ указаны нор­мально распределенные составляющие случайной погрешности результата наблюдения (инструментальная, методическая, из-за влияющих факторов, оператора и т.д.), то СКО вычисляют по формуле:

                                                (3.2)

где m₂ - число составляющих случайной погрешности; S_j - значения СКО этих составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения е(Р) в этом случае вычисляют по формуле:

e(P) = z _p/2 S²_j (x)                                                            (3.3.)

где Z _p/2 - значение нормированной функции Лапласа в точке Р/2 при доверительной вероятности Р (табл. 3.2):

Таблица  3.2. значения нормированной функции Лапласа  

Р	Z p/2	Р	Z p/2
0,90	1,65	0,97	2,17
0,95	1,96	0,98	2,33
0,96	2,06	0,99	2,58

2. Если в тех же документах случайные составляющие погрешности результата наблюдения представлены доверительными границами е_j(Р) при одной и той же доверительной вероятности Р, то доверительную гра­ницу случайной погрешности результата измерения с однократным наблю­дением пои доверительной вероятности вычисляют по формуле

                                                                     (3.4)

3. Если случайные составляющие погрешности результата наблюде­ния определяют предварительно в реальных рабочих условиях эксперимен­тальными методами при числе наблюдений и   N <30, то:

                                                (3.5.)

где t - коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу на­блюдений n_j из всех N, можно найти в [4] или в любом справочнике по теории вероятностей; S(x) - оценки СКО случайных составляющих по­грешности результата наблюдения, определяемых по формуле (3.2). Если в эксперименте невозможно или нецелесообразно определить СКО состав­ляющих случайной погрешности и определено сразу суммарное СКО, то в формуле (3.2)   m₂ = 1.

4. Если случайные составляющие погрешности результата наблюде­ний представлены доверительными границами e(Pj), соответствующими 

разным вероятностям Р_j то сначала определяют СКО результата измере­ния с однократным наблюдением по формуле:

                                                      (3.5a)

Где Z _p/2 - значение нормированной функции Лапласа в точке Р/2. Затем вычисляют e(P) по формуле  3.5.

Для суммирования систематической и случайной погрешностей рекомендуется следующий способ. Если , то НСП Θ(P) пренебрегают, и окончательно принимают έ(Р) за погрешность результата  измерения Δ(Р) при доверительной вероятности Р. Если Θ(Р)/S(P) >0,8, то пренебрегают случайной погрешностью и принимают Δ(Р)= Θ(Р).

3.2. Измерения с многократными наблюдениями. Обработку резуль­татов в этом случае рекомендуется начать с проверки на отсутствие прома­хов (грубых погрешностей). Промах — это результат х „ отдельного наблю­дения, входящего в ряд из N наблюдений, который для данных условий измерений резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если оператор в ходе измерения обнаруживает такой результат и достоверно на­ходит его причину, он вправе его отбросить и провести (при необходимости) дополнительное наблюдение взамен отброшенного.

При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произвольно отбрасывать отдельные результаты нельзя, так как это может привести к фиктивному повышению точности результата измерения. Поэтому приме­няют следующую процедуру. Вычисляют среднее арифметическое х ре­зультатов наблюдений х, по формуле:

.

Затем вычисляют оценку СКО результат наблюдений как

.

Далее находят V_n предполагаемого промаха x_n от  :

.

По числу всех наблюдений, (в том числе и х_n), и принятому Р (обычно 0,95), находят Z(P,n) – нормированное выборочное отклонение нормального распределения. Если V_n < Z(P,n)*S, то наблюдение x_n не является промахом.

Если V_n > Z(P,n)*S, то наблюдение x_n - промах, подлежащий исключению.

После исключения промахов x_n повторяют вычисление  и S, для оставшегося ряда результатов наблюдений и повторяют проверку на промах наибольшего из оставшихся значений x_n при новых значений N. 

Доверительные границы Ө(Р) НСП результата измерения с много­кратными наблюдениями определяют точно так же, как и при измерении с однократным наблюдением  - по формулам (3.4).

Суммирование систематической и случайной составляющих погреш­ности результата измерения при вычислении Δ(Р) рекомендуется осущест­влять с использованием критериев и формул (3.6 - 3.8), в которых при этом S(x) заменяется на S(x) = S(x)/√n.

1. Косвенные измерения. Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументов а₁, a₂..., а,,...а_m, связанных с иско­мой величиной уравнением:

.

Вид функции f определяется при установлении модели объекта измерения  ОИ.

Косвенное измерение при линейной зависимости. Искомая величи­на А связана с т измеряемыми аргументами уравнением

где b_j - постоянные коэффициенты.

Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений а, отсутствует. Результат измерения А вычисляют по формуле

где ấ, — результат измерения а, с введенными поправками. Оценку СКО результата измерения S(A) вычисляют по формуле:

Где  S(A) – оценка СКО результат измерений а_j.

Доверительные границы e(P) случайной погрешности А при нормальном распределении погрешностей а:

где t(Р,n_ef) — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р (обычно 0,95, в исключительных случаях 0,99) и эффектив­ному числу наблюдений n_ef, вычисляемому по формуле

Здесь n_j – число наблюдений при измерении а.

Доверительные границы  Ө(Р) НСП результата такого измерения, сумму Ө(Р) и е(Р) для получения окончательного значения Δ(Р) реко­мендуется вычислять с использованием критериев и формул (3.1), (3.2), (3.3), в которых m ₁, Ө _j, и S(x) заменяются, соответственно, на m, b_iӨ_i, и  S(A).

Лекция 4

ИЗМЕРЕНИЯ. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ