С простыми категорическими суждениями

МОДАЛЬНЫЕ СУЖДЕНИЯ

 

Мы не будем говорить о выделяемой логиками модальности в широком смысле (об этом можно прочесть в специальной литературе). Будем рассматривать лишь модальность в узком, более строгом смысле, т.е. необходимость, возможность и действительность.

Необходимость безотносительна ко времени (прошлому, настоящему и будущему) и выразима в языке операторами "обязательно", "необходимо" и др. Так, необходимость того, что сумма углов треугольника на плоскости равна двум прямым, имела, имеет и будет иметь место. Оператор необходимости может стоять перед суждением, может опускаться, а может как бы включаться в связку: "Сумма углов треугольника на плоскости необходимо равна двум прямым".

Действительность соответствует настоящему времени и подчеркивается связками "есть", "не есть", "суть", "не суть" и др. Языковые выражения этой модальности довольно разнообразны; особенности и свойства суждений действительности нами уже рассмотрены.

Возможность (проблематичность) допустима в любом времени и выразима операторами "возможно, было", "возможно, есть", "возможно, будет".

Для интерпретации модальностей часто используют систему "возможных миров", один из которых соответствует действительности. Но то, что истинно в одном мире, может быть ложным в других "мирах", и наоборот. И лишь необходимость (аподиктические суждения) будет истинной во всех этих "мирах". Возможность — хотя бы в одном из них. Действительность — только в "этом" мире.

Вот перечень зависимостей между модальными суждениями:

— истинность суждения необходимости гарантирует истинность суждений действительности и возможности;

— ложность суждения необходимости влечет неопределенность суждений действительности и возможности;

— истинность суждения действительности гарантирует истинность суждения воз­можности, но влечет неопределенность суждения необходимости;

— ложность суждения действительности гарантирует ложность суждения необходимости и неопределенность суждения возможности:

— истинность суждения возможности влечет неопределенность суждений действительности и необходимости;

— ложность суждения возможности гарантирует ложность суждений действительности и необходимости.

Облегчить ориентацию в этих сравнительно многочисленных зависимостях может следующая таблица, где символом "В" обозначено любое простое суж­дение, а стрелкой — направленность нашего рассуждения от истинности или ложности того или иного суждения:

 

Необходимо В	Действительно В	Возможно В
и ------------>	----------> и ----------->	---------> и
л ------------>	---------->? ----------->	--------->?
? <------------	<----------  и ----------->	---------> и
л <------------	<----------  л ----------->	--------- >?
? <------------	<-----------? < ----------	<--------- и
л <------------	<----------- л <-----------	<--------- л

Как легко заметить, рассматривая модальности, мы не учитывали ни качества тех суждений, которые выражают модальности, ни тем более количества, т.е. не учитывали ни характера связки (утвердительной или отрицательной), ни квантора этих суждений. С учетом их, естественно, вся система отношений значительно бы усложнилась. Рассматривая отношения между модальными суждениями, в логике для наглядности строят "модальный шестиугольник". Как и в "логическом квадрате", в нем верхнюю часть шестиугольника занимают суждения, подчиняющие себе те, которые занимают нижнюю его часть. На этой фигуре легко просматриваются те истинностные зависимости между суждениями, которые учитывают модальные качества необходимости, действи­тельности и возможности:

 

(Действительно В)     б                                      д (Действительна не-В)

(Возможно В)                  в                     е                   (Возмомно не-В)

                                             

 

Здесь символами а, б, в, г, д, е обозначены соответственно суждения "Необходимо В", "Действительно В", "Возможно В", "Необходимо не-В", "Действительно не-В", "Возможно не-В".

Истинность суждения а (Необходимо В) обусловливает истинность подчиняющихся ему суждений б (Действительно В) и в (Возможно В). Та же зависимость и между отрицательными суждениями, т.е. истинность г (Необходимо не-В) обусловливает истинность д (Действительно не-В) и истин­ность е (Возможно не-В) как подчиненных.

Истинность б и истинность д обусловливают соответственно истинность в и истинность е, т.е. если а подчиняет как б, так и в, то при этом б, в свою очередь, подчиняет в. Аналогично и г подчиняет как д, так и е, а д, в свою очередь, подчиняет е.

Между а и г, а и д, как и между г и а, г и б устанавливаются отношения противоположности (контрарности), характерные тем, что истинность одного из них обуславливает ложность ему противоположного, в то время как ложность одного из них — неопределенность ему противного, т.е. эти суждения, как и в "логическом квадрате" не могут быть одновременно истинными, по крайней мере одно из них ложно, а по большей мере оба могут быть ложными.

Между а и е, г и в, б и д устанавливается отношение противоречия (контрадикторности), которое характерно невозможностью их одновременной как истинности, так и ложности. И это отношение аналогично по истинности отношениям между противоречащими суждениями "логического квадрата".

Между в и е, в и д, е и в, е и б устанавливается отношение подпротивоположности (субконтрарности), характерное тем, что эти суждения не могут быть одновременно ложными, по крайней мере одно из них истинно, по большей же мере оба могут быть истинными.

Что касается итерированных (повторенных) модальностей (Возможно, что возможно В, Возможно, что необходимо В и т.п.), то исследование их требует довольно сложного научного аппарата современной формальной логики, которым традиционная логика просто не располагает.

 

§ 6. СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ

 

Сложные суждения состоят из нескольких простых суждении, связанных между собой логическими союзами. Логический союз, таким образом, есть новая логическая связь, определяющая собой структуру новой мыслительной конструкции, логические ее характеристики и выступая ее главной структурной закономерностью.

Логика выделяет четыре логических союза: соединительный союз (конъюнкция), в языке выразимый грамматическими союзами и частицами "и", "а", "но", "да" и т.п.; разделительный союз (дизъюнкция) - "или", "либо" и т.п.; условный союз (импликация) - "если.., то" и союз эквивалентности, тождественности (эквиваленция) - "если и только если.., то", "тогда и только тогда, когда".

Два или более простых суждения могут образовывать сложное с помощью соединительного союза, который символически изображается знаком " /\ ". Например: "Сегодня воскресенье, и мы едем за город". Это конъюнктивное суждение можно записать в виде формулы: (S есть Р ) и (S₁ есть р₁). Если же простые суждения, которые нам хорошо уже известны, обозначать для простоты выражения отдельными символами, то эта формула примет сокращенный вид (В и С), где символ "В" соответствует простому суждению "S есть Р", а символ "С" - другому простому суждению "S₁ есть Р₁". А если мы и логический союз заменим на символическое его изображение, то получим совсем короткую и удобную для использования формулу: "В/\С", которая выражает лишь структурные особенности построения данной формы мысли (что логику-то и интересует) и не отвлекает нас своим содержанием. По формуле легко установить количество составных элементов сложного суждения - левый и правый член конъюнкции, и сам логический союз. Остается выявить лишь закономерности, определяемые главным элементом данной конструкции - логическим союзом.

Поскольку простое суждение в таком виде имеет для нас значение лишь своей главной особенностью - простое суждение по природе своей может быть либо истинным, либо ложным, то основные зависимости сложного конъюнктивного суждения будут определяться его логическим союзом. Эти зависимости легко обнаруживаются в разработанных логикой так называемых "таблицах истинности" для логических союзов. Для конъюнкции таблица истинности такова:

 

В С В /\ С

и и и

л и л

и л л

л л л

Таким образом, соединительный логический союз (конъюнкция) формирует сложное суждение, истинное только в одном случае - когда все входящие в него простые суждения являются истинными. И это является законом для данного логического союза, т.е. сколько бы ни входило в это сложное суждение простых суждений, достаточно будет одного ложного из них, чтобы вся конъюнкция в целом оказалась ложной.

Два или более простых суждения могут образовывать слож­ное и с помощью разделительного логического союза " \/" (дизъюнкция). С его помощью можно образовать, на­пример, такое сложное разделительное суждение: "Леса на территории нашей страны являются лиственными или хвойными или смешанными". Это суждение записывается в виде формулы В \/ С \/ Д, в которой каждый символ соответствует простому суждению и логическому союзу.

В логике различают два значения разделительного (дизъюнктивного) союза: разделительно-соединительный (слабая дизъюнкция) и строго разделительный союз (строгая, или сильная дизъюнкция). Слабая дизъюнкция не запрещает, не исключает одновременную истинность простых суждений, входящих в это сложное. Так, приведенное выше суждение "Леса бывают лиственными или хвойными или смешанными" являет собой образец слабой дизъюнкции: в данном случае союз "или" не только разъединяет, но и соединяет, допуская наличие перечисленных трех признаков у одного и того же леса. Зато строгая (сильная) дизъюнкция исключает одновременную истинность простых входящих в сложное суждений. Так, в суждении "Данное животное есть волк или медведь" союз "или" выполняет строго разделительную роль; одновременно данное животное тем и другим быть не может. Обычно слабую дизъюнкцию обозначают символом "v", а строгую — "v".

Для разделительно-соединительного союза, для слабой дизъюнкции, таблица истинности такова:

В С В v С

и и   и

л и   и

и л   и

л л   л

Для слабой дизъюнкции характерно то, что сложное суждение, формируемое этим логическим союзом, бывает ложным только в одном случае, когда все составляющие его простые суждения являются ложными; во всех остальных случаях, сколь бы ни было велико число членов дизъюнкции, сложное суждение будет истинным.

Строго разделительный союз (v), соответственно своей сущности, формирует истинное сложное суждение лишь в том случае, когда только одно из всего количества простых суждений, входящих в сложное, является истинным. Другие случаи сочетания истинности и ложности простых суждений не дают истинного сложного суждения и целом.

Таблица истинности для строгой дизъюнкции такова:

 

В С В v С

и и л

л и и

и л и

л л л

Символическое обозначение логического союза тождественности (эквиваленция) - <-->. Этот союз формирует сложное суждение, по истинностной своей характеристике противоположное суждению строгой дизъюнкции. Дело в том, что и этот союз дает сложное суждение, истинное только в двух случаях, когда либо все входящие в сложное простые суждения являются истинными, либо все являются ложными. Например, "Треугольники имеют равные углы тогда и только тогда, когда и стороны их равны", или "Если и только если углы треугольника равны, то и стороны его тоже равны".

Таблица истинности для эквиваленции:

 

В С В <-->С

и и     и

л и     л

и л         л

л л     и

Следующим логическим союзом, формирующим сложное суждение, является условный союз, часто называемый импликацией, символическое изображение которого - -->. Образованное с его помощью сложное условное суждение состоит из двух элементов: основания (простое суждение, которое заключено между союзом "если" и частицей "то") и следствия (простое суждение, следующее после частицы "то"). Правда, такое название элементов применимо для условного суждения, союз которого по природе своей, генезису и истории отражает естественные, причинно-следственные зависимости, зависимости по смыслу; в импликации же эти элементы называются по-другому, и это потому, что импликация есть связь между элементами (простыми суждениями), допускающими смысловую независимость их между собой, т.е. антецедент (простое суждение перед логическим союзом) и консеквент (простое суждение после союза) могут по смыслу совершенно не зависеть друг от друга: "Если в огороде бузина, то в Киеве дядько", "Если рак - рыба, то белый медведь не хищник", "Если любовь зла, то асфальт мокрый" и т.п. Условное суждение записывается в виде формулы - "В -->С". Однако, по своим истинностным характеристикам условное суждение и импликация не во всем тождественны друг другу.

Несмотря на их структурное сходство и даже одинаковость выражения логического союза, все таки отождествлять их не стоит, так как импликация отражает более произвольный характер связи между элементами ее по сравнению со связью основания и следствия условного суждения. Эти связи отражают раз­ные зависимости, обладают разными свойствами. Условное суждение по природе своей отражает природные, естественные связи и причинно-следственные зависимости между предметами (явлениями, процессами) и их свойствами. Исследуемая в современной фор­мальной (математической, символической) логике импликация есть связь, не предполагающая смысловой зависимости между своими составляющими. Вот эта более свободная, произвольная, обобщенная и в чем-то более искусственная связь антецедента и консеквента в импликации, отличает ее от смысловой связи основания и следствия в условном суждении. Посему и истинностные зависимости между элементами условного суждения и импликации несколько отличны.

Между двумя элементами условного суждения (основанием и следствием) логика устанавливает две закономерные зависимости. Первая и жесткая зависимость, отражающая причинно-следственную связь, показывает истинностную зависимость следствия от основания условного суждения. При истинности основания условного суждения следствие его будет обязательно истинным. Так, в суждении "Если растение лишено кислорода, то оно погибает" при истинности его основания (растение лишено кислорода) следствие его (оно погибает) будет безусловно истинным. Но если основание этого условного суждения ложно, то его следствие может быть как истинным, так и ложным, т.е. неопределенным. Потому что, опираясь только на имеющуюся в основании условного суждения информацию, сказать определенно, каким же будет следствие этого суждения, не представляется возможным. Нам ведь ничего не известно об остальном: в нашем случае — о земле, воде, солнце, тепле и пр.

При истинности следствия условного суждения основание его тоже будет неопре­деленным, так как исходной информации недостаточно. Нам из­вестно лишь то, что растение погибает. Известно это и только это. Можно ли, опираясь на такое скудное знание, категорично что-то утверждать об основании нашего суждения, т.е. говорить о причине гибели растения? Конечно же, нет. Из собственного и коллективного опыта нам известно, что растение может погибнуть от самых разных и многих причин, а в нашем суждении названа лишь одна, что недостаточно для точного и однозначного, определенного заключения. По истинности следствия условного суждения нельзя заключать об истинности его основания. Но вот когда следствие условного суждения является ложным, тогда неизбежно будет ложно и само основание. Это — закон для данной структуры. Если следствие нашего суждения - «растение погибает» - является в действительности ложным, то и его основание - «растение лишено кислорода» - будет обязательно ложным. Эти зависимости можно представить в виде таблицы, которую будет удобно сопоставить с таблицей истинности для импликации:                                

Если В, то С,

при и --> и, а

при л -->?, и наоборот, при

   ? <-- и

    л <-- л

 

В данной таблице стрелка всего лишь указывает направление, мысленный переход от одного элемента условного суждения к другому, но не логический союз.

Таблица истинности для импликативного логического союза (для импликации) будет несколько иной:

В С В --> C

и и    и

л и    и

и л    л

л л    и

 

Понятно, что при отсутствии смысловой зависимости между элементами импликации, истинностные характеристики последней носят в отдельных случаях более произвольный, чем в условном суждении, в общем-то постулируемый, конвенциональный характер. Однако, таким образом заданные истинностные значения импликации позволяют ей преодолевать те неопределенности, которые встречаются в условном суждении, и которые не позволяют в некоторых случаях точно разрешать ситуацию. Импликация даже при, казалось бы, па­радоксальных случаях, например, при ложности как антецедента, так и консеквента, как логическая связь признается истинной; и такая логическая связь "работает" в системах исчислений, в системах искусственных языков. Без этой связи невозможно создание языков машин, всей современной "интеллектуальной" техники. Методологическое значение данной логической связи очень велико.

Традиционная формальная логика рассматривает структуру сложных суждений, как такую мыслительную конструкцию, элементы которой связаны между собой по смыслу. Правда, она не делает отношения между сложными суждениями пред­метом своего обстоятельного исследования. Можно в качестве исключения говорить лишь о рассматриваемых традиционной логикой отношениях и связях между условным и разделительным суждениями, но традиционная логика рассматривает их в качестве элементов более сложной формы мысли — умозаключения, как условно-разделительный силлогизм.

Отношения между четырьмя видами сложных суждений - предмет современной формальной (математической, или символической) логики. Она анализирует и устанавливает закономерные зависимости между сложными суждениями и даже имеет целый список так называемых формул равносильностей, когда сложные суждения с одним логическим союзом по истинностному своему значению тождественны другим сложным суждениям с другими логическими союзами. То есть речь идет о взаимозаменяемости логических союзов. Так, эквивалентность может быть выражена импликацией, импликация - дизъюнкцией, дизъюнкция - конъюнкцией, и наоборот. Например: (В/\С) равносильно «не-(В-->не-C)» и равносильно «не-(не-Вv не-С)»; (ВvС) равносильно не-(не-В /\ не-С); (В-->C) равносильно (не-ВvC); (В<-->C) равносильно ((не-ВvС) /\ (не-СvD)). (См. Формальная логика. Л., 1977. С. 221-231).

 

Виды суждений

 

простые                                    сложные

 

    суждения              суждения

  модальности          отношения       соединительные

разделительные

                                                                           условные

эквивалентности

суждения

необходимости

                      суждения

              действительности

                                              суждения

                                           возможности

                   А Е I О

 

Глава 4

 

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В обобщенном виде умозаключение можно охарактеризовать как такую мыслительную структуру, в которой из двух или более истинных исходных сужде­ний (называемых посылками), на основании определенной логической связи между ними, формируется новое истинное суждение. Иначе говоря, умозаключение - это мыслительная форма, позволяющая получать новое истинное знание из уже известного истинного знания; это форма опосредованного другими мыслями опережающего отражения (без обязательного непосредственного соприкосновения с предметом, с областью отражения), дающая новое знание на основе связи между собой нескольких исходных мыслей, т.е. на основе определенной закономерной (в этом смысле логической) связи между уже известными и истинными исходными суждениями. При этом, подчеркнем еще раз, истинный вывод будет следовать только тогда, когда исходные мысли являются истинными, а связи между ними логичными (закономерными).

В таких случаях и говорят об истинности и правильности мышления. Истинными мысли бывают тогда, когда их содер­жание адекватно отражает предмет мысли, соответствует действительности. Правильными мыслительные формы и мышление бывают тогда, когда они построены в соответствии с требованиями логики к структуре мыслей. Поэтому и часты случаи, когда истинные исходные мысли, связанные в рассуждении (умозаключении) неправильно, не в соответствии с требованиями логики, не в соответствии со структурными законами форм мысли, дают ложный вывод, ложное выводное знание. Такой же результат бывает и тогда, когда построе­нное формально правильно рассуждение (умозаключение), использует ложные исходные мысли. И только когда исходные мысли истинны и связи между ними закономерны, т.е. соответствуют требованиям логики, только тогда вывод будет необходимо истинным (силлогистичным - от древнегреческого sillogismos - сосчитывание). Например:

Все студенты - учащиеся

Этот человек - студент

Этот человек - учащийся.

Это правильное рассуждение, но при тех же истинных суждениях в рассуждении:

Все студенты - учащиеся

Этот человек - учащийся

Этот человек - студент.

Истинность вывода с необходимостью не следует, потому что здесь нарушены нормативные требования логики к структуре умозаключения, о чем будет обстоятельно сказано чуть позже.

Умозаключение состоит, как минимум, из двух исходных суждений (посылок) и нового третьего суждения (четвертого, пятого и т.д., если посылок больше двух), получаемого из исходных и называемого выводом, заключением, или следствием. Роль связующего звена (роль логической связи) между исходными мыслями в простом категорическом силлогизме выполняет понятие, входящее в посылки (средний термин); а в умозаключениях из сложных суждений - тоже входящее в посылки отдельное простое суждение, являющееся либо основанием, либо следствием условного суждения, либо членом деления разделительного суждения.

Соответственно видам составляющих умозаключение суждений будут различаться (конкретизироваться) и виды этих умозаключений. Умозаключения подразделяются на виды как по количеству и качеству составляющих умозаключение посылок, так и по направленности движения мысли. Различают умозаключения из простых категорических суждений, из простых суждений отношения, из сложных суждений, а также дедуктивные, индуктивные и традуктивные умозаключения. Умозаключения из простых категорических суждений по-другому называют простой категорический силлогизм, а соответственно, умозаключения из сложных суждений - условные и разделительные силлогизмы, которые могут комбинироваться между собой. Термин «силлогизм» обычно относят к простому категорическому умозаключению, но более точно этот термин относится ко всем дедуктивным умозаключениям.

Дедуктивные умозаключения - это рассуждения от общего к частному и единичному, они характерны наличием среди посылок общего суждения. Дедукция понимается как мысленный переход от общих положений, являющихся в сущности законами, иногда же, лишь общими местами (топами, по Аристотелю), к тем или иным конкретным случаям; как конкретизация общего к некоторому частному и единичному. Среди дедуктивных умозаключений различают простой категорический силлогизм, т.е. умозаключение из двух исходных простых категорических суждений; условный силлогизм, в котором хотя бы одна из посылок — суждение условное; разделительный силлогизм, в котором хотя бы одна из посылок — разделительное суждение; и из их сочетаний. В итоге, среди дедуктивных умозаключений выделяют: простой категорический силлогизм, чисто условный силлогизм (когда обе посылки — условные суждения), условно-категорический силлогизм, чисто разделительный силлогизм (когда обе посылки — разделительные суждения), разделительно-категорический силлогизм и условно-разделительный.

Индуктивные умозаключения, наоборот. — рассуждения от единичного и частного к общему, здесь в качестве посылок выступают суждения единичные, частные, а вывод делается общий. Среди индуктивных умозаключений выделяют умозаключение по полной индукции и по неполной. Неполная индукция, в свою очередь, подразделяется на индукцию через простое перечисление (популярная индукция), на индукцию через отбор фактов, исключающих случайность обобщения, и на научную индукцию.

Традуктивные умозаключения — умозаключения, в которых и посылки, и вывод одинаковой степени общности, т.е. это умозаключения из суждений отношения и умозаключения по аналогии.

 

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Итак, дедукция - это рассуждение, опирающееся на закономерное общее положение, и от него переходящее к тем или иным конкретным случаям приложения общего. Понимается дедукция и как логически правильный (с соблюдением требований логики) вывод из уже имеющегося знания, из уже имею­щихся мыслей; как получение новой мысли из нескольких данных, в которых эта выводная мысль в явном виде не формулируется, а получается как новое сочетание входящих в посылки элементов, как их новая комбинация, естественно, с соблюдением определенных правил, определенной последовательности, с соблюдением требований логики. Такой способ позволяет выявлять всевозможные внутренние связи элементов целого (внутри аксиоматической ли системы, внутри исчисления, внутри теории, внутри той или иной формы мысли и пр.). В этом случае дедукция выступает как опережающий способ познания, как метод исследования, как процедура (определенная последовательность - тоже, ведь, форма) представления, изложения мысли.