Теорема о движении центра масс МС

Количество движения. Момент количества движения

Количество движения МТ в пространстве Oxyz –

.

Количество движения МТ по направлению l –

.

Момент количества движения (кинетический момент) МТ относительно центра О –

.

Для МСМТ количество движения

,

или используя центр масс

.

Кинетический момент  вычисляется по аналогии с моментом силы  относительно центра О: кинетический момент МТ относительно центра О направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы  и , а модуль его равен

,

где h - плечо количества движения  относительно центра момента О. Приложен вектор  к точке О.

Момент количества движения МТ K_z относительно оси Oz (как в статике) равен проекции на эту ось момента количества движения точки относительно центра О, расположенного на этой оси

.

Для МСМТ кинетический момент

,

.

 

Кинетическая энергия

Кинетическую энергию МТ массой m, движущейся со скоростью , определяют по формуле

.

Кинетическая энергия МСМТ

.

Кинетическая энергия ТТ:

, где  - скорость частицы тела (γ) массы d m.

При поступательном движении ,

при вращательном движении ,

при плоском движении (поступательное движение центра масс + вращение вокруг оси z _C) .

 

Работа и мощность силы

Понятие «работа силы» характеризует действие силы на тело на некотором его перемещении.

При движении частицы М под действием силы  за меру действия силы на пути dS принимают элементарную работу силы δ А:

.

, , отсюда .

Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

Работа силы тяжести: ,  - высота опускания (+) или поднимания (-) груза.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории между начальной и конечной точкой, и если эти точки совпадают, то работа силы тяжести равна нулю. Работа равна нулю и если траектория движения лежит в одной и той же горизонтальной плоскости.

Работа линейной силы упругости:

Линейной силой упругости называют силу, действующую по закону Гука, ,

где  - радиус-вектор от произвольного положения точки до точки статического равновесия (то есть до точки, в которой эта сила равна нулю), с - коэффициент жесткости упругого элемента.

Если начало координат в точке статического равновесия, то сила упругости в проекциях на координатные оси: , , .

Работа силы упругости: . Работа силы на перемещении от произвольной точки M₀ до точки М: , где  - расстояние между точкой M и точкой статического равновесия.

Работа сил трения:

Трение скольжения:

, G – вес тела, f – коэффициент трения скольжения.

Трение качения:

, G – вес тела, k – коэффициент трения качения.

Мощность силы – работа силы в единицу времени, .

В векторной, координатной и естественной формах

,

,

.

Мощность силы и пары сил, приложенных к ТТ

Мощность силы , приложенной в точке М _k тела

,

где А – полюс. Иначе

,

 - момент силы относительно полюса.

Мощность пары сил .

При поступательном движении

, .

При вращательном движении

, .

При плоском движении

, ,

А – полюс фигуры, P - мцс.

 

ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

 

Теорема о движении центра масс МС

Центр масс МСМТ движется как МТ с массой, равной массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил, приложенных к точкам системы:

.

Следствия (закон сохранения движения центра масс):

1) действием одних только внутренних сил нельзя изменить движение центра масс МСМТ;

2) если главный вектор внешних сил равен нулю или равна нулю его проекция на какое-либо направление, то в первом случае центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, а во втором случае сохраняется движение центра масс по этому направлению.