Элементы центральной проекции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1.

    Цель занятия - изучение геометрических свойств изображений, построенных по законам центральной проекции.

    Задачи работы:

· изучить элементы центральной проекции;

· изучить способы построения перспектив точек и прямых;

· построить на пространственных чертежах, по основные элементы центральной проекции;

· построить перспективы точек, перспективу отрезка прямой и перспективу отрезка отвесной прямой.

Содержание занятия. Выбрать индивидуальные исходные данные, познакомиться со способами построения изображения на аэрофотоснимках, изучить термины и определения, построить основные элементы центральной проекции на пространственном чертеже, выполнить построение перспективы точек и отрезков прямых, ответить на контрольные вопросы.

Литература [1, 2].

Теоретические пояснения к занятию

Для решения многих задач, особенно в инженерном деле, широко ис­пользуют изо­бра­жения объектов, построенные тем или иным мето­дом на плоскости или на поверхности.

Построение изображения какого-либо предмета (объекта) на из­бран­ной поверхности по определенному закону называется проекти­рова­нием, а его результат – проекцией.

При аэрофотосъемке изображение на снимке получается путем центрального проектирования точек местности на фотопленку, расположенную в фокальной плоскости аэрокамеры. При этом узловая точка объектива играет роль центра проектирования S, плоскость фотопленки (аэрофотоснимок) – картинной плоскости Р, а плоскость, где размещаются объекты съемки, - предметной Е. Параметрами полученного таким образом снимка являются угол наклона α_с плоскости снимка (картинной плоскости) по отношению к предметной, высота фотографирования Н над этой плоскостью и фокусное расстояние f    (удаление узловой точки объектива или центра проектирования от плоскости снимка).

В связи с этими исходными данными для построения элементов центральной проекции являются указанные выше величины α_с, f и Н. Причем,  f и Н не являются элементами центральной проекции, но они необходимы для нанесения на чертеж всех элементов.

    Для построения элементов центральной проекции необходимо иметь три основных элемента: центр проекции S, предметную плоскость Е, где размещены объекты, картинную плоскость Р, где получаются изображения этих объектов. Остальные элементы получаются как следы сечения основных плоскостей Р и Е с лучами и плоскостями, проведенными по определенным правилам.

    Исходные данные для выполнения лабораторной работы представлены в приложении 1.

Практические пояснения к занятию

    Задание 1. Основные элементы центральной проекции (чертеж формата А3).        

    Основание картины ТТ ( рис.1) получается как след сечения картинной и предметной плоскостей. Плоскость главного вертикала (W) проходит через центр проекции перпендикулярно основанию картины; точка ее пересечения (υ _о) с основанием картины (ТТ) называется главной точкой основания картины, а след сечения с картиной (i υ_о) и предметной (υ_о V) плоскостями – главной вертикалью и ее проекцией соответственно. Угол α_c, образованный предметной и картинной плоскостями называется суммарным углом наклона картинной плоскости. Опустив перпендикуляр из S на главную вертикаль получим главную точку картины (о) и ее проекцию (О). Опустив перпендикуляр из S на проекцию главной вертикали v ₀ V получимпроекцию (N)  точки надира (n). Точка надира образуется на пересечении данного перпендикуляра с главной вертикалью (υ ₀ i). Биссектриса угла oSN пересечет картинную и предметную плоскости в точке нулевых искажений (с) и ее проекции (С) соответственно. Плоскость действительного горизонта Е′, пройдет через центр проекции S параллельно предметной плоскости. В сечении с плоскостью Р и главной вертикалью (υ ₀ i) даст линию действительного горизонта (h_i h_i) и главную точку схода картинной плоскости (i).Разделяющая (нейтральная) плоскость R, проведенная через центр проекции S параллельно картинной плоскости Р, даст в сечении с предметной плоскостью и проекцией главной вертикали соответственно линию картинного горизонта (  ) и точку схода предметной плоскости (J).

        

 

 

   

 

 

        

 

    Любая прямая картинной плоскости, параллельная основанию картины (перпендикулярная главной вертикали) называется горизонталью. Горизонталь, проходящая через главную точку картины, называется главной (). Горизонталь, проходящая через точку нулевых искажений – линией неискаженных масштабов (h _с h _с), а горизонталь, проходящая через точку надира – надирной горизонталью (h _n h_n).

    Построение указанных элементов выполняют в следующем порядке: отступив от нижнего края листа 7-9 см, проводят горизонтальную прямую и принимают ее за проекцию главной вертикали υ₀ V. На этой линии, на расстоянии 15-18 см от левого края листа выбирают точку N, из которой восстанавливают перпендикуляр и откладывают вдоль него отрезок, равный высоте фотографирования H, получают центр проекции S. Из центра проекции S проводят прямую, параллельную проекции главной вертикали и откладывают вдоль нее отрезок равный , который вычисляется по формуле (1):

               (1).

        

    Получают главную точку схода i. Из точки i под углом  к отрезку Si проводят прямую , длина которой должна быть равной величине, вычисленной по формуле (2):

                 (2).

 

    В пересечении    и SN получают точку надира n. Из центра проекции опускают перпендикуляр на главную вертикаль   (его длина равна f) и продолжают его до пересечения с , получают главную точку картины о и ее проекцию О. Проведя биссектрису угла OSN в пересечении с главной вертикалью и ее проекцией получают точки с и С. Построив основные линии, оформляют плоскости, как показано на рис. 1. Длину основания картины ТТ принимают равной 80 мм, а проекцию главной вертикали  - 200-250 мм. 

                    

Задание 2. Построение перспективы точек и отрезка прямой, лежащих в предметной плоскости (чертеж формат А4).

    Изображение предмета, полученное в результате центрального проектирования, называется перспективой. Приступая к отысканию перспективы точек и прямых, следует иметь ввиду, что во всех случаях решение сводится к нанесению на плоскость Р следа сечения ее проектирующей плоскостью, проведенной через центр проекции S и заданную прямую.

В предметной плоскости Е по координатам Х и У наносят точки А и С. Оси координат совпадают с проекцией главной вертикали     и линией основания картины   (рис.2).

Из точек А и С опускают перпендикуляры на  (проводят линии параллельные проекции главной вертикали) получая двойные точки  и  . Из них проводят направления перспектив точек А и С – отрезки  . Для нахождения перспектив точек проводят проектирующие лучи SA и SC. Точки пересечения этих лучей с направлениями  и   и будут искомыми перспективами а и с, а отрезок ас – перспективой отрезка АС.

Данный метод нахождения перспектив называется методом перпендикуляров. Перспектива отрезка может быть также найдена методом направления перспективы. Для этого отрезок АС продолжают до пересечения с ТТ получая двойную точку . В плоскости действительного горизонта Е из центра проекции S проводят линию параллельную отрезку АС до пересечения с линией действительного горизонта . Точка пересечения   является точкой схода прямой , а перспектива отрезка АС будет находиться на направлении перспективы . Для нахождения перспективы ac отрезка прямой AC достаточно провести в его концы из центра проекции S проектирующие лучи SA и SC, которые отсекут на направлении перспективы искомую проекцию.

 

Задание 3. Построение перспективы отвесной прямой.

       Задача построения перспективы отвесной прямой решается указанным выше способом, т.е. путем нанесения следов сечения предметной и картинной плоскостей проектирующей плоскостью. Особенностью решения является определение положения двойной точки, так как заданная прямая и основание картины не пересекаются при их продолжении.

В предметной плоскости Е по координатам наносят точку А. Так как точка В имеет такие же координаты Х и У, в точке А восстанавливают перпендикуляр к плоскости Е и откладывают вдоль него аппликату точки В.

Для определения положения линии пересечения предметной и проектирующей плоскости воспользуемся тем, что основание данной прямой А (рис.3) и проекция точки надира N принадлежат линии их пересечения. Тогда для определения положения двойной точки l  необходимо соединить основание заданной прямой А с проекцией точки надира N и продолжить до пересечения с основанием картины ТТ. Направление перспективы, как указывалось ранее, проходит через двойную точку и точку схода, которая для отвесных прямых совпадает с точкой надира n.

 

                   Второй способ

 

Второй способ определения перспективы отвесной прямой предполагает использование вспомогательной плоскости, проходящей параллельно предметной через пространственную точку.

Для нанесения нового основания картины (линии пересечения картинной и вспомогательной плоскостей) от проекции точки надира вдоль луча NS откладывают аппликату пространственной точки, а из полученной точки N  проводят прямую   перпендикулярную SN до пересечения с главной вертикалью. Горизонталь ТТ, проходящая через точку , и будет основанием вспомогательной плоскости.

Поскольку пространственная точка В лежит в новой предметной плоскости Е, нахождение ее проекции выполняется методом перпендикуляров.

Для получения перспективы отвесной прямой ВА достаточно соединить проекции точек В и А в картинной плоскости P.

 

 

Контрольные вопросы

1. Дайте определение центральной проекции.

2. Назовите три основных элемента для построения пространственного чертежа элементов центральной проекции.

3. Назовите основные точки, линии и плоскости элементов центральной проекции.

4. Особенности построения перспективы точек и отрезков прямой, лежащих в предметной плоскости.

5. Особенности построения перспективы отрезка отвесной прямой.

        

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2.

Теория одиночного снимка

 

    Цель занятия – изучить геометрические особенности изображения на аэрофотоснимке.

Задачи - изучить:

· системы координат местности и аэрофотоснимка,

· элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимка и расположение главных точек аэрофотоснимка,

· закономерности изменения масштаба на наклонном и горизонтальном снимке,

· линейные смещения точек аэрофотоснимка, вызванные влиянием угла наклона снимка и рельефа местности.

    Содержание занятия - по заданным элементам ориентирования аэрофотоснимка и координатам четырех точек, образующих на местности квадрат выполнить следующее:

-определить положение основных точек и линий аэрофотоснимка;

-вычислить координаты изображений вершин квадрата и их линейные смещения, обусловленные влиянием угла наклона аэрофотоснимка и рельефа местности;

    -определить значения масштабов в вершинах квадрата и основных точках аэрофотоснимка.

    Полученные результаты необходимо графически отобразить на аэрофотоснимке.

Теоретические пояснения к занятию

Элементами внутреннего ори­ен­тирования на­зыва­ют ве­ли­чины, опреде­ляющие положение центра проекции от­носительно плос­ко­сти аэрофотоснимка.К ним от­но­сят (рис. 4) фо­кусное рас­стояниеи коорди­наты ,  главной точки аэрофотоснимка  в сис­теме  которые опреде­ляют при калиб­ровке съемочной камеры, за­носят в ее техниче­ский паспорт и используют для восстановления связки проектирующих лучей, существовавших в момент фотографирования.

 Рис.4 Элементы внутреннего ориентирования снимка

 

Элементы внешнего ориентирования определяют положение объектива и всей связки проектирующих лучей снимка относительно системы координат местности, в которой будет составляться план.

 

 

Рис. 5 Элементы внешнего ориентирования аэрофотоснимка

 

  Обычно используют две системы элементов внешнего ориентирования. В первой системе три линейных элемента X_S Y_S Z_S - пространственные геодезические координаты центра проекции (узловой точки объектива) S. а также три угловых элемента:

 – продольный угол наклона, отсчитывае­мый в отвесной плос­кости SXZ между осью SZ и проекцией главного оптиче­ского луча So на плос­кость SXZ;

    – поперечный угол наклона, лежащий в наклонной плос­кости SoY между глав­ным оп­тическим лучом So и

его про­ек­цией на плоскость SXZ;                   

– угол поворота в плос­ко­сти снимка между осью y и сле­дом сечения плоско­сти SoY (рис.5).

Координатные системы местности используются для определе­ния пространствен­ного положения точек местности. К таким системам отно­сятся как левые (система плоских прямоугольных координат Гаусса), так и правые (UTM - Universal Transverse Mercator). 

Координатные системы аэрофотоснимка предназначены для опреде­ле­ния положения то­чек аэрофотоснимков, являются прямоугольными, пра­выми и делятся на внутренние и внешние системы координат. Внешние координатные системы явля­ются пространственными, а их начало совмещено с цен­тром проек­тирова­ния. Внутренние системы – плоские, с началом в точке пересече­ния ли­ний, соединяющих координатные метки снимка.

Литература [1, 2].

Практические пояснения к занятию

 

Задание 1. Определение положения основных точек и линий аэрофотоснимка.

Основными точками аэрофотоснимка принято считать главную точку , точку нулевых искажений  и точку надира . Основными линиями аэрофотоснимка считают главную вертикаль и горизонтали, проходящие через точки о, с, n.

    Для определения положения главной точки аэрофотоснимка соединяют противоположные координатные метки. Точка пересечения принимается за главную точку аэрофотоснимка.

    Исходные данные для выполнения вычислений приведены в прилоджении 2.

    Далее вычисляют направляющие косинусы по формулам:

 

   

   

                                                             (3)

 

 

 

 

 

    Контролем правильности вычислений служит выполнение условий:

 

                                                 

                                                (4)

 

которые должны обеспечиваться с погрешностью, не превышающей трех-четырех единиц шестого знака.

    Координаты точки нулевых искажений и точки надира во внутренней прямоугольной координатной системе  вычисляют по формулам:

 

                          

                                                                          (5)

                                

 

Далее вычисляют угловые элементы внешнего ориентирования аэрофотоснимка во второй системе элементов внешнего ориентирования:

 

 

                                                                                (6)

 

                      

причем, знак суммарного угла наклона        должен соответствовать знаку элемента .

    Координата  точки надира и точки нулевых искажений во внутренней прямоугольной координатной системе      вычисляют по формулам:

 

         

                                                                             (7)

           

 

    Координата  этих же точек равна 0.

     Точки n и с наносят на аэрофотоснимок по координатам  .    и       и, выполняя измерения по снимку, контролируют по координатам и

    Для построения главной вертикали на снимке наносят дополнительную точку увеличив координаты и   в 5-10 раз. Правильность нанесения главной вертикали контролируется измерением на аэрофотоснимке угла .

    Далее проводят горизонтали через точки ,   и  перпендикулярно к главной вертикали. Положительным будет направление главной вертикали, расположенное в правой части снимка от оси ординат.

 

Задание 2. Вычисление координат изображений вершин квадрата на аэрофотоснимке.

Для изучения закономерностей линейных и угловых искажений построим на аэрофотоснимке четыре фигуры, каждая из которых является изображением квадрата А BCD местности, полученным при определенных условиях:

- аэрофотоснимок наклонный, положение точек искажено влиянием угла наклона и рельефа местности (фигура a, b, c, d),

- аэрофотоснимок наклонный, положение точек искажено лишь влиянием угла наклона (фигура a ^/  , b ^/  , c ^/  , d ^/ ),

- аэрофотоснимок горизонтальный, положение точек искажено влиянием рельефа местности (фигура a ₁, b ₁, c ₁, d ₁,)

- аэрофотоснимок горизонтальный, влияние рельефа местности и угла наклона отсутствует (фигура a ⁰, b ⁰, c ⁰, d ⁰).

 

 Координаты точек а, b, c, d наклонного аэрофотоснимка в системе о х у, искаженные совместным влиянием угла наклона и рельефа вычисляют по формулам:

 

                                                                                                        (8)

 

 

Координаты точек a ^/, b ^/, c ^/, d ^/ наклонного аэрофотоснимка в системе оху, искаженные влиянием лишь угла наклона аэрофотоснимка, вычисляют по формулам, принимая z = 0.

 

                                                                                                      (9)

 

Координаты точек a _1, b ₁, c ₁, d ₁   горизонтального аэрофотоснимка, искаженные влиянием лишь рельефа местности, вычисляют по формулам идеального случая съемки:

 

 

                                                                                   (10)

 

Поскольку величины  ,   относятся к системе координат горизонтального аэрофотоснимка с началом в его главной точке, для нанесения на наклонный аэрофотоснимок полученной фигуры. Необходимо перенести начало координат в точку надира, Приближенные формулы такого перехода имеют вид:

                                                                                      (11)

Координаты точек a ⁰, b ⁰, c ⁰, d,⁰ горизонтального снимка, свободные от искажений, вычисляют по формулам, вытекающим из формул 10 при Z = 0.

                                                                                      (12)

Поскольку координаты , также относятся к горизонтальному снимку, для нанесения по ним положения точек нужно перенести начало координат, используя формулы:

 

                                                                                                            (13)

 

 

Контролем правильности вычислений и построений служит выполнение следующих условий:

- контуры фигур a ⁰, b ⁰, c ⁰, d ⁰ и a ^/  , b ^/  , c ^/  , d ^/  должны пересекаться в точках, лежащих на линии искаженных масштабов h_c h _c,

- фигура a ⁰, b ⁰, c ⁰, d ⁰, должна быть квадратом со стороной 100 мм,

- прямые, соединяющие точки a^/  и a⁰, c^/  и c⁰, b^/  и b⁰, d^/  и d⁰, должны проходить через точку нулевых искажений,

- прямые, соединяющие точки a и a^/, b и b^/, c и c^/, d и d^/  должны проходить через точку надира.

 

Задание 3. Расчет линейных смещений, обусловленных влиянием угла наклона аэрофотоснимка и рельефа местности.

Линейные смещения точек, вызванных влиянием угла наклона, определяют по приближенной формуле:

 

                            (14)

 

где r _с – расстояние между точкой нулевых искажений и точками a ^/  , b ^/, c ^/, d ^/  , измеренные на аэрофотоснимке;

φ_с – угол в точке нулевых искажений между положительным концом главной вертикали и направлениями на точки a ^/  , b ^/, c ^/, d ^/, против хода часовой стрелки, измеренный на аэрофотоснимке;

α_с – суммарный угол наклона снимка, вычисленный по формуле (6);

    Смещения  должны быть равны расстояниям  между точками a^/ и a⁰, b^/ и b⁰, c^/ и c ⁰, d^/  и d ⁰ и направлены на точку нулевых искажений.

    Линейные смещения точек, вызванные влиянием рельефа местности, определяют по формуле:

 

                                                                  (15)

 

где r_n - расстояние между точкой надира и точками a ₁, b ₁ , c ₁ d ₁, измеренное на аэрофотоснимке;

h - превышение точки над средней плоскостью аэрофотоснимка Z ср;

Н - высота фотографирования над средней плоскостью аэрофотоснимка Zcp.

 

 

                                                             (16)

 

 

Смещения  приближенно должны быть равны расстояниям               между точками a ₁ и a ^о, b ₁и b ^о, c ₁ и c ⁰, d ₁ и d ⁰ и направлены на точку надира.

 

Задание 4. Вычисление масштабов изображения на аэрофотоснимке.

 

Для расчета масштабов изображения в различных точках аэрофотоснимка необходимо использовать следующие формулы:

- для главной точки аэрофотоснимка о

                                     (17)

    - для точки нулевых искажений с

                                    (18)

          

-для точки надира n

                             (19)

 

- произвольная точка на главной вертикали

                  (20)

 

Для определения масштабов в точках a, b, c, d использовать формулу:

                                      (21)

Все вычисления сводятся в журнал установленного образца (приложение 3).

    Клиновой масштаб строят для экстремальных значений m, а также для заключенных между ними и кратных 1000. На листе бумаги проводят горизонтальную прямую произвольной длины, принимают ее за ось Х, разбивают шкалу (например, от 0 до 1000 м) и откладывают отрезок длиной 1000 м в указанных масштабах , , и т.д. вдоль вертикальной прямой (рис.6). Полученные точки соединяют с противоположным концом горизонтального отрезка и делят его на части так, чтобы наименьшее деление оказалось равным одному, пяти или десяти метрам.

                       

Рис.6 Клиновой масштаб

 

Графическое оформление работы заключается в выписке на аэрофотоснимок значений масштабов и     в расчетных точках и вычерчивании четырех фигур, полученных при проектировании квадрата abcd местности при различных условиях (рис.7).

                                                                      

             

 

           

 

 

Рис.7 Образец оформления работы

Контрольные вопросы

1. Назовите системы координат местности.

2. Назовите плоские и пространственные системы координат снимка.

3. Покажите на чертеже и назовите элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимка.

4. Назовите закономерности изменения масштаба на наклонном снимке равнинной местности.

5. Определите на снимке область точек с максимальным и минимальным смещением за угол наклона и рельеф местности.

6. Назовите пути уменьшения искажения изображения за угол наклона. Назовите точки не искаженные за угол наклона.

7. Назовите пути уменьшения искажений за рельеф местности. Какие точки на аэрофотоснимке не искажаются за рельеф местности.