Уравнение радиоактивного распада. Период полураспада. Активность.

     Радиоактивный распад нестабильного ядра – событие случайное, не зависящее от состояния, в котором находятся другие нестабильные ядра. Если нестабильное ядро длительное время не распадалось, то это вовсе не означает, что ему «уже пора»: долгое ненаступление распада не приближает и не отдаляет во времени предстоящий распад. Распад неизбежен, поскольку ядро объективно нестабильное. Вероятность его распада в любую секунду остается величиной постоянной.

     Закономерности подобных процессов устанавливаются по средним показателям большой группы ядер, с применением методов математической статистики.         

     Уравнение радиоактивного распада (Резерфорд, Содди, 1903 год) получено, следуя логике статистического анализа. Эта логика особенно убедительна при записи уравнения распада в дифференциальной форме:

                                                (-dN) / dt = λN                             (8)

Здесь  N – численность нестабильных атомных ядер в момент времени t;

   - dN – изменение (уменьшение) этой численности за бесконечно малый    

              промежуток времени dt наблюдения за распадом;

(-dN) / dt – скорость уменьшения численности нестабильных ядер  (скорость  

              распада в промежутке времени от t  до t+dt);

         λ – постоянная  распада –  константа,  своя   для  каждого  вида             

              радиоактивных атомов.

         

     Следовательно, уравнение радиоактивного распада (8) можно сформулировать следующим образом: скорость радиоактивного распада пропорциональна численности еще не распавшихся ядер.

     Интегрирование дифференциального уравнения (8) приводит к уравнению радиоактивного распада в интегральной форме:

                                      N = N₀ e ^{-l t}                        (9)

Здесь N = N(t) – численность еще не распавшихся ядер как функция времени t;    

N₀ – численность нераспавшихся ядер в начальный момент времени (при t = 0);

        e – основание натуральных логарифмов.

 

График уравнения (9) представлен на рис. 9:

                    

                  Рис. 9. График уравнения радиоактивного распада.

Период полураспада – это промежуток времени, в течение которого число нераспавшихся ядер уменьшается в два раза, от N₀ до ½N₀. Этот показатель связан с постоянной распада следующим образом:

                                                                                       (10)

Постоянная распада λ является важной характеристикой радиоактивных ядер: она равна вероятности распада отдельного ядра данного вида за единицу времени. Какая именно единица времени: секунда, минута, или год – будет зависеть от того, в каких единицах времени подставляется в формулу (10) период полураспада Т_1/2.

Допустимо и другое толкование: постоянная распада λ равна доле от численности атомных ядер данного вида, распадающихся в единицу времени.

Диапазон значений периода полураспада природных радиоактивных изотопов необычайно широк: от 1,39‧10¹⁰ лет для тория ₉₀Th²³⁴ до 3,04·10^-7 секунды для полония Po²¹².

 

Радиоактивные изотопы с периодом полураспада, измеряемые в секундах, минутах, часах и в сутках – это короткоживущие изотопы. Изотопы с периодом полураспада, измеряемым в годах, тысячелетиях, и т.п., -это долгоживущие изотопы.

В медицинской практике нашли применение и те, и другие. Если радиоактивный изотоп вводится в организм, то крайне желательно, чтобы период его полураспада был невелик. Например, хорош изотоп золота ₇₉Au¹⁹⁸ с периодом полураспада Т_1/2 = 2,7 суток, а изотоп натрия ₁₁Na²⁴ – еще лучше, у него Т_1/2=15 часов. Если же пациент подвергается воздействию радиоактивных излучений от внешнего источника, то такой источник удобнее иметь с большим периодом полураспада. Таков, к примеру, изотоп кобальта ₂₇Co⁶⁰ с периодом полураспада Т_1/2 = 5,26 лет. Он излучает b^--частицы с энергией 0,31 МэВ и g-кванты 1,33 МэВ и 1,17 МэВ. Кобальтовая пушка – источник g-излучения, применяемый в лучевой терапии.

 

Активность радиоактивного препарата - это число нестабильных атомов этого препарата, распадающихся за одну секунду. В системе СИ принята единица активности беккерель (в честь Антуана Беккереля, одного из первых исследователей радиоактивности):

       1 Бк = 1    = 1 1/c                

Широко применяется внесистемная единица активности – Кюри:

       1 Ки = 3,7×10¹⁰ Бк = 3,7×10¹⁰ 1/c

1Ки – очень большая величина. В медицинской практике используют препараты с активностью в милли- и микрокюри: 1 мКи = 10^-3 Ки; 1 мкКи = 10^-6 Ки.

Активность, по определению, является показателем скорости распада (число распадов в единицу времени), в то время как в уравнении (9)   N – это численность еще не распавшихся ядер. Взяв производную N^/ = dN/dt                         от функции (9), мы получаем уравнение, описывающее активность препарата как функцию времени:

                                                                                                        (11)

Знак «минус» в этом выражении указывает на то, что функция (9) является убывающей, а скорость dN/dt этого убывания уменьшается по экспоненциальному закону, как и численность N в уравнении (9).