Пусть предполагается к осуществлению некоторое мероприятие или серия мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, что
Задача планирования рабочей силы:
При выполнении некоторых проектов число рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем их найма и увольнения. Поскольку как наем, так и увольнение рабочих связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.
Предположим, что проект будет выполнятся в течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i -й недели составит bi рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i -й недели иметь в точности bi рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.
Если xi – количество работающих на протяжении i -й недели, то возможны затраты двух видов:
1) С1(xi – bi) – затраты, связанные с необходимостью содержать избыток xi – bi рабочей силы;
2) С2(xi – xi -1) -затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма (xi – xi -1) рабочих.
Элементы модели динамического программирования определяются следующим образом:
1. Этап і представляется порядковым номером недели і, і =1,2,… n.
2. Вариантами решения на і -ом этапе являются значения xi – количество работающих на протяжении і -й недели.
3. Состоянием на і -м этапе является xi -1 – количество работающих на протяжении (і- 1) –й недели (этапа).
Рекуррентное уравнение динамического программирования представляется в виде
где 
.
Вычисления начинаются с n -го этапа при xn = bn и заканчиваются на 1 –ом этапе.
Задача замены оборудования:
Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда срок эксплуатации механизма достигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.
Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым.
Обозначим через r (t) и c (t) прибыль от эксплуатации t -летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s (t) – стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна l.
Элементы модели динамического программирования таковы:
1. Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,... n.
2. Вариантами решения на і -м этапе (т.е. для і -ого года) являются альтернативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале і -ого года.
3. Состоянием на і -м этапе является срок эксплуатации t (возраст) механизма к началу і -ого года.
Пусть fi (t) – максимальная прибыль, получаемая за годы от і до n при условии, что в начале і -ого года имеется механизм t -летнего возраста.
Рекуррентное уравнение имеет следующий вид:
(1) – если эксплуатировать механизм,
(2) – если заменить механизм.
Задача инвестирования:
Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P 1, P 2,…, Pn соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r 1, а второй - r 2. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.
Премиальные меняются от года к году, и для і -ого года равны qi 1 и qi 2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиции на следующие n лет.
Элементы модели динамического программирования следующие:
1. Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n
2. Вариантами решения на і -м этапе (для і -ого года) являются суммы li и 
инвестиций в первый и второй банк соответственно.
3. Состоянием xi на і -м этапе является сумма денег на начало і -ого года, которые могут быть инвестированы.
Заметим, что по определению = xi - li. Следовательно,
где і= 2,3,… n, x 1 = P 1. Сумма денег xi, которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (і -1) -го года.
Пусть fi (xi) – оптимальная сумма инвестиций для интервала от і -го до n -го года при условии, что в начале і -го года имеется денежная сумма xi. Далее обозначим через si накопленную сумму к концу n -го года при условии, что li и (xi - li) – объемы инвестиций на протяжении і -го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая 
, і= 1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.
Максимизировать z = s 1 + s 2 +…+ sn, где
Так как премиальные за n -й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для sn добавлены qn 1 и qn 2.
Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид
где xi +1 выражается через xi в соответствии с приведенной выше формулой, а fn +1 (xn +1)=0.
