ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ НИЗКОЙ ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ ДЛЯ СПУТНИКА ФОРМАТА CUBESAT 3 U
© 2018 Е.С. Бояринцева, А.В. Драчев, С.А. Рылов, В.В. Чумаков, В.А. Глушков, А.Г. Вшивцев
ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, г. Ижевск
В данной работе рассмотрена проблема определения траектории движения спутника по низкой круговой орбите, определены основные возмущающие факторы, оказывающие влияние на траекторию полета КА, составлены дифференциальные уравнения движения спутника, предложены варианты их решения.
Спутник, CubeSat,ИСЗ, МКА, низкая околоземная орбита, траектория спутника, координаты, системы координат, CIO, задача двух тел, д ифференциальные уравнения движения ИСЗ.
Введение
При проектировании малого космического аппарата следует оценить параметры орбиты, на которую он будет запущен. Правильная оценка всех возмущающих факторов, действующих на КА, поможет определить траекторию полета, периоды нахождение аппарата в тени, а также траекторию схода с орбиты.
Это позволит:
1) правильно оценить энергетические ресурсы аппарата, необходимое кол-во солнечных батарей, типы и размеры источников энергии;
2) определить количество и продолжительность сеансов связи, что необходимо для определения объемов передаваемой информации, создания управляющей программы спутника, организации его автономной работы, включения и отключение подсистем, и выполнения эксперимента полезной нагрузкой,
3) получить необходимые данные для программы управления поворотным механизмом антенны (координаты, направление движения, и моменты времени появления спутника на горизонте).
В зависимости от размеров КА и параметров его орбиты, на спутник действую различные факторы, которые изменяют его траекторию движения. Чем более качественно будут оценены воздействующие факторы, тем точнее реальная траектория совпадёт с теоретический рассчитанной.
Возмущающие факторы
На движение КА действуют следующие факторы:
1. Гравитационное поле Земли.
2. Сопротивление атмосферы Земли.
3. Притяжения Луны, Солнца и других планет.
4.Световое давление.
5.Магнитное поле земли.
6. Ряд других, менее значимых факторов.
В результате действия возмущающих факторов орбита ИСЗ отличается от кеплерова движения. Однако, каждый из факторов оказывает влияние в различной степени, в зависимости от массы, размеров, физических свойств материалов КА и параметров его орбиты.
Для данного космического аппарата выбрана низкая околоземная орбита высотой 300км. 3U имеет максимальный габарит 10х10х30 см, что является относительно малым значением в условиях космического пространства.
Рассмотрим каждый из факторов:
1.Потенциал гравитационного поля Земли, изменяется не только с изменением расстояния до центра земли, но и с местом положения относительно земной поверхности, это вызвано несферичностью Земли и неоднородностью плотности её плотности.При значительных расстояниях, когда расстояние до объекта в десяткираз превышает радиус Земли, влияние этого факторасильно уменьшается, и взаимодействие тел мало отличает от взаимодействия материальных точек.
2.Сопротивление атмосферы Земли зависит от её плотности, которая падает с высотой приблизительно по экспоненциальному закону: 
. Кроме того, плотностьатмосферы зависит от её температуры, которая различна на теневой и солнечной стороне, а также от активности Солнца.
3.Влияние силы притяжения Луны, Солнца и других планет. Притяжение Луны существенно сказывается только на высокопогейныеИСЗ. На низких орбитах факторы 1-2 преобладают.
4.Световое давление примерно пропорционально площади поверхности объекта и обратно пропорционально его массе. В целом, чем меньше КА, тем сильнее влияние так как при неизменной плотности при уменьшении ребра куба на величину а, масса уменьшается a 3 раз, в то время какплощадь грани лишь в a 2 раз. Соответственно, чем меньше габаритные размеры объекта, тем больше соотношение площадь/масса, и поэтому наибольшему воздействию подвергаются мелкие частицы (например, частицы кометных хвостов).
5.Магнитное поле….
Применение магнитных материалов, масса спутника, (магнитные катушки)
6. Другие: микрометеориты, заряженные и нейтральные частицы ….
Исходя из этого наиболее существенное влияние на траекторию движения нашего космического аппарата оказывают следующие факторы:
1.Потенциал гравитационного поля Земли
2.Сопротивление атмосферы Земли
3.Световое давление
Для упрощения расчетов мы на данном этапе пренебрегаем остальными факторами.Далее более подробно рассмотрим каждый из факторов.
Потенциал гравитационного поля Земли.Уравнения возмущенного движения ИСЗ
В самом грубом приближении, если рассматривать КА и Землю как материальные точки, гравитационное взаимодействие выражается гравитационным потенциалом:
,
где f –гравитационная постоянная, m –масса Земли, r – расстояние спутника от центра Земли.
Так как Земля имеет несферичную форму и неоднородную плотность, её потенциал имеет более сложный вид. Удобно представить его в виде сумму потенциала материальной точки и небольшой поправки R, называемой возмущающей функцией:
R не имеет простого аналитического выражения и обычно представляется виде разложения по сферическим функциям:
Здесь r 0 – экваториальный радиус Земли, r – геоцентрический радиус-вектор спутника, 
- его геоцентрическая широта, λ – долгота, 
, 
, 
– безразмерные постоянные, характеризующиеся фигуру Земли, 
– полином Лежандра n -ого порядка, 
– присоединенные функции Лежандра.
Система координат
Географические, и координаты небесной сферы в прямоугольных и сферических координатах с началом отсчёта в CIO, λ= w × ERA (t),
Выбрали геоцентрическую прямоугольную систему координат, в которойЗемля является неподвижным объектом.
Вывод дифференциального уравнения
В прямоугольных геоцентрических координатах уравнение движения ИСЗ будет иметь вид
и иметь правые части, выраженные в сферических координатах
Связь сферических и декартовых координат
Найдём выражения
Для этого выразим частные производные
Таким образом выражение
Будет вычисляться:
, 
, 
- через выражения, описанные в сферических координатах
Которые в свою очередь вычисляются через рекуррентные формула для полинома Лежандра
где 
в нашем случае 
И рекуррентные для присоединительных функцийЛегранжа,
А 
где 
после дифференцирования сопоставимо с 
вычислится по представленным выше формулам
Для 
аналогично.
