Правила перевода десятичных чисел в другие системы счисления

1. Чтобы перевести целое десятичное число в двоичную или другую СС, необходимо данное число разделить на основание новой СС, полученное частное снова разделить на это основание и т.д. до тех пор, пока частное не будет меньше делителя. Последнее частное дает старшую цифру числа в новой СС, остальными цифрами будут остатки от деления, взятые в порядке, обратном их получению.

2. Чтобы перевести дробную часть десятичного числа в двоичную или другую СС, необходимо данную дробную часть последовательно умножать на основание новой системы счисления. Умножаются только дробные части числа. Дробь в новой системе запишется в виде целых частей получаемых произведений, начиная с первого сомножителя. Перевод дробных чисел осуществляется с определенной погрешностью.

86,31 ₍₁₀₎ → 126,23 ₍₈₎

86 (10) → 126 (8) 86∟8                                     80 10∟8                                                     6   8 1                                                                                              2

0,31 (10) → 0,23 (8)         0, 31            * 8                                                      2, 48        * 8                                                                3, 84

3. Для более быстрого перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления используют таблицу соответствия
(таблица 3).

Чтобы перевести двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему, необходимо разбить его на группы по три (четыре) разряда, начиная от запятой в разные стороны, и каждой группе поставить в соответствие восьмеричную
(шестнадцатеричную) цифру по таблице соответствия.

86,31 ₍₁₀₎ → 126,23 ₍₈₎ → 1010110,010011 ₍₂₎ → 56,4С ₍₁₆₎

4. Чтобы перевести число из двоичной, восьмеричной или другой СС в десятичную, необходимо данное число разложить в ряд по степеням основания системы счисления.

1010110,010011₍₂₎→1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2²+1*2¹+0*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+

 6 5 4 3 2 1 0  -1 -2 -3 -4 -5 -6     

+0*2^-3 +0*2^-4 +1*2^-5 +1*2^-6=64+0+16+0+4+2+0+0+0,25+0+0,03+0,02=86,3₍₁₀₎

Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но если в десятичной СС перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице 2 представлены правила сложения и вычитания в двоичной СС.

1) При сложении в двоичной системе СС двух единиц в данном разряде
 будет Ø и появится перенос единицы в старший разряд.

2) При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1. Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.

1. Сложение          1001110101, 011        + 11110110, 010             1101101011, 101

2. Вычитание      - 11011101011, 001               10101101, 011         11000111101, 110

Таблица 2 − Арифметика в двоичной системе счисления

Сложение	Вычитание
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0
1 + 0 = 1	1 – 0 = 1
0 + 1 = 1	1 – 1 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1

Таблица 3 − Таблица соответствия СС

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	000	0	0
1	001	1	1
2	010	2	2
3	011	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	В
12	1100	14	С
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

ПРИМЕР:

Даны два числа: 437,49 и 19,63

1) Перевод десятичного числа в восьмеричную систему счисления:

437,49
437∟8          432 54∟8        5  48 6                   6	0, 49  * 8  3, 92    * 8          7, 36	437, 49 (10) → 665, 37 (8)
19,63
19∟8            16 2            3	0, 63            * 8            5, 04        * 8        0, 32	19, 63 (10) → 23, 50 (8)

2) Перевод полученных чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную, используя таблицу соответствия:

437, 49 ₍₁₀₎ → 665, 37 ₍₈₎ → 110110101, 011111 ₍₂₎ → 1В5, 7С ₍₁₆₎  

 

19, 63 ₍₁₀₎ → 23, 50 ₍₈₎ → 10011, 101000 ₍₂₎ → 13, А ₍₁₆₎  

3) Арифметические действия в двоичной системе счисления:

110110101, 011111        +   10011, 101000               111001001, 000111

- 110110101, 011111                 10011, 101000         110100001, 110111

4) Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную:

111001001, 000111 → 8 7 6 5 4 3 2 1 0     -1 -2 -3 -4 -5 -6	1*2 8+1*2 7+1*2 6+1*2 3+1*2 0+1*2 -4+1*2 -5 +1*2 -6=
=	256+128+64+8+1+0,06+0,03+0,02 = 457,11 (10)

 

110100001, 110111 → 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6	1*2 8+1*2 7+1*2 5+1*2 0+1*2 -1+1*2 -2+1*2 -4+1*2 -5+1*2 -6=
=	256+128+32+1+0,5+0,25+0,06+0,03+0,02 = 417,86 (10)

5) Проверка с полученными результатами:

437, 49 + 19, 63 457, 12

437, 49 -  19, 63 417, 86

Вывод:

В результате проверки получена погрешность в дробной части на 0,01. Погрешность уменьшается от увеличения количества действий умножения в дробной части при переводе чисел из десятичной в другую систему счисления.

Задание 2. Кодирование и единицы измерения информации

Для автоматизации работы с данными различных типов необходимо унифицировать форму их представления посредством кодирования. В вычислительной технике применяется двоичное кодирование. Двоичные цифры (binary digit) –
1 или Ø – биты. Бит – это один двоичный разряд, вмещающий наименьшее возможное количество дискретной информации. Большинство операций в компьютере выполняется над группами из 8, 16, 32, 64 разрядов. Группа из 8 разрядов (бит) называется байт. Байт является основной машинной единицей информации. Байт кодирует один символ (букву, цифру, знак, пробел). Для измерения объемов информации используют также более крупные единицы:

1 килобайт (Кб)=1024 байт=2¹⁰ байт

1 мегабайт (Мб) = 2²⁰ байт

1 гигабайт (Гб) = 2³⁰ байт

ПРИМЕР:

ИВАНОВ ИВАН ИВАНОВИЧ

20 символов = 20 байт; 20×8 = 160 бит; 20/1024 = 0,0195 Кбайт

2)	И	В	А	Н	О	В		И	В	А	Н
	10	3	1	15	16	3		10	3	1	15

Полученные четыре трехзначные целые числа: 103, 115, 163, 103

103 ₍₁₀₎ → 1100111₍₂₎ → 147 ₍₈₎ → 67 ₍₁₆₎

 

103∟2                                    

102 51∟2                                                    

1 50 25∟2                                                                                      

      1 24 12∟2                                                                                            

            1 12 6∟2                                                                  

                  0 6 3∟2                                       

                        0 2 1                                                     

                              1                                                                           

Проверка:

1100111 ₍₂₎ → 1*2 ⁶ +1*2 ⁵ +0*2 ⁴ +0*2 ³ + 1*2 ² +1*2 ¹ +1*2 ⁰ =

 6  5 4  3  2  1 0    

                 =  64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 103 ₍₁₀₎

 

147 ₍₈₎ → 1*8 ² +4*8 ¹ +7*8 ⁰ = 64 + 32 + 7 = 103 ₍₁₀₎

 2 1 0    

 

67 ₍₁₆₎ → 6*16 ¹ +7*16 ⁰ = 96 + 7 = 103 ₍₁₀₎ и т.д. с остальными полученными числами.

1 0