Алгебраїчні критерії стійкості.

СТІЙКІСТЬ АВТОМАТИЧНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ

План

1. Стійкістьлінійних систем автоматичного керування.

2. Алгебраїчнікритерії стійкості.

3. Частотнікритеріїстійкості.

 

Стійкістьлінійних систем автоматичного керування.

Точністьвиконаннятехнологічногопроцесузалежитьвідроботоздатності АСК, щовизначаєтьсяїїстійкістю.

При прикладені до АСК будь-якої дії її рух може бути різним, але з умов стійкості роботи він буде стійким, не стійким і на межі стійкості.

АСК є стійкою, якщо вона повертається до усталеного режиму, післяприпиненнядіїзбурення, щовивелоїї з цього стану.

Нестійка система не повертається до усталеного стану рівноваги, з якого вона вийшла. Вихідна величина такоїсистемибезперервнозбільшуєтьсяабоздійснюєнедопустимівеликіколивання.

О.М.Ляпуновзапропонувавоцінюватистійкістьсистеми на основіаналізурівняннядинаміки, щоописує систему.

Рівняння системи в період Т характеризується диференційним рівнянням при x (t)=0, тобто однорідним рівнянням (із сталими коефіцієнтами):

В операторнійформі

Загальнимрозв’язкомданогодиференційногорівняння буде:

де l _i – корені характеристичного рівняння;

c_i – стала, щовизначаєтьсяпочатковимиумовами.

Кореніможуть бути дійсними та комплексними.

 

 

 

Аналізотриманогорішенняпоказує, що

- при l = - a (негативнийкорінь) – процесзатухає (крива 1) – стійка система;

- при l = a (позитивнийкорінь) – процесрозходиться (крива 2) – система нестійка;

- при l = 0 –процес не змінюєсвого стану (лінія 3) – система знаходиться на межістійкості.

При одержанікомплекснихкоренів: l = ± a ± j w (y (t)= ce ^{a t} sin (w t + j)

- l = -a± j w- затухаючіколивання (крива 1) – система стійка;

- l = a± j w- коливаннярозходяться (крива 2) – система нестійка;

- l = ± j w- коливання з сталоюамплітудою, не затухають (крива 3) – система на межістійкості.

 

 

В загальномувипадку:

стійка – кореніповинні бути від’ємними, а комплекснікоренімали б від’ємнудійснучастину;

нестійка – хоча б один корінь буде позитивний;

на межістійкості – при наявностінульовогокореняабо пари чисто умовнихкоренів, що лежать на умовнійвісі.

 

Труднощівиникають при розв’язуванніхарактеристичнихрівняньвисокихпорядків (при n > 4), тому булирозроблено ряд принципів, що дозволили визначитистійкістьавтоматичних систем не обчислюючикоренів характеристичного рівняння. Ціпринципиназиваютьсякритеріямистійкості.

 

 

Алгебраїчні критерії стійкості.

Критеріїстійкості - це математичнаформуліровка умов, якимзадовольняютькоефіцієнти характеристичного рівняннясистеми автоматичного керування.

Існуєдекількакритеріїв, але з математичної точки зорувонивсіеквівалентні.

Всікритеріїподіляються на двігрупи:

- алгебраїчні;

- частотні.

Алгебраїчнікритеріївизначаютьсукупністьалгебраїчнихнерівностей, щоописуютьзв’язкиміжкоефіцієнтами характеристичного рівняннясистеми.

КритерійРауса (1877р.)

Хай є характеристичнерівняннясистеми:

Складаєтьсятаблиця (матриця) Рауса:

Число строчок матрицідорівнює n+1.

Коефіцієнтиутворюються за наступним правилом:

а₀; а₁; а₂ ... а_п – коефіцієнти характеристичного рівняння.

b ₀ = а₂ - а₀ а₃/ а₁ = а₂ - l ₁ а₃; b ₂ = а₄ - l ₁ а₅ і т.д.

b ₁ = а₃ – а₁ b ₀ / b ₂ = а₃ - l ₂ b ₂; b ₃ = а₅ - l ₂ b ₄; b ₅ = а₇ – l ₂ b ₆  і т.д.

с₀= b ₂ - b ₀ b ₃ / b ₁ і т.д.

Критерійформулюється таким чином: для стійкостісистеминеобхідно і достатньо, щобкоефіцієнтипершогостовпчикатаблицібулипозитивними.

Приклад:

4р⁴ + 7р³ + 5р² + 3р + 1 = 0

кількість строчок п+1=4+1=5

b₀=5-4×3/7=23/7; b₂=1-4×0/7=1; b₁=3-7×1/23/7=20/23; b₃= 0-0×49/23=0;                                C₀ =1- 0×23/7 / 20/23=1

Дана система стійка.

 

 

КритерійГурвіца (1895р.)

Базується на визначенні табличного записукоефіцієнтів характеристичного рівняння:

і формулюєумовустійкості в залежностівідзнаківвизначників.

ВизначникГурвіцаскладається таким чином: коефіцієнтивід а₁ до а_п розташовуються за головною діагоналею в порядку зростання. Вверх відголовноїдіагоналі в стовпчикахзаписуютькоефіцієнти з послідовнозростаючимиіндексами, а вниз – з індексами, щозменшуються. На місцяхкоефіцієнти, індексияких > n та < 0 проставляють 0.

Критерійвстановлює, що система стійкатоді та тількитоді, коли всідіагональнімінорибільше нуля, тобтоспівпадають за знаком з першим коефіцієнтом а₀.

D ₀ =а₀ > 0; D ₁ =а₁ > 0; ; ;...

D _п > 0.

Приклад:

               р⁵ +3р⁴ + 5р³ + 7р² + 2р + 2 = 0

а₀ = 1 > 0; D₁=3> 0; ;

D₅=2D₄=32> 0.

Система стійка.

КритерійГурвіцазастосовують для рівнянь до п’ятого порядку.

ПорівняннякритеріївРауса та Гурвіцапоказує,що перший маєалгоритмічний характер (елементиз’являються в результатірозрахунку), а другий – замкнуту форму. РанішечастішевикористовувавсякритерійГурвіца. Зпоявоюцифровихобчислювальних машин, для лінійних систем високого порядку, застосовуютькритерійРауса.