Свойства пересечения и объединения множеств

1) Коммутативное свойство (переместительное):

Для любых множеств А и В выполняются равенства:

       А   В = В   А

       А В = В А

2) Ассоциативное свойство (сочетательное):

Для любых множеств А и В выполняются равенства:

       (А В) С = А (В С)

       (А В) С = А (В С)

3) Дистрибутивное свойство (распределительное):

Для любых множеств А и В выполняются равенства:

       (А В) С = (А С) (В С)

       (А В) С = (А С) (В С)

Замечание:

Если нет скобок, то сначала выполняют пересечение, а затем объединение (   более «сильная» операция, чем ).

                                                                                                                           А                В

Задание 25                                                            

Проиллюстрируйте ассоциативное (сочетательное) свойство

пересечения и объединения множеств, используя круги Эйлера (рис. 35).

                                                                                                                                                    С

 

                                                                                                                                   Рис. 35

Можно находить разность множеств.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

       А\В = { х | х Î А и х  В }

Рассмотрим примеры, используя рисунок 30.

1) Пусть А – множество треугольников, В – множество черных фигур, С – множество белых треугольников. Тогда множество С можно рассматривать как разность множеств А и В, так как белые треугольники принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В: А\В=С.

2) Пусть А – множество изображенных треугольников, В – множество изображенных черных треугольников, С – множество изображенных белых треугольников. Так как множество В является подмножеством множества А, то оставшаяся часть множества А, то есть белые треугольники (множество С), и будет разностью: А\В=С.

3) Пусть А множество изображенных квадратов, В – множество изображенных четырехугольников. Так как эти множества равны, то разностью множества А и В будет пустое множество: А\В= Ø.

4) Пусть А – множество изображенных треугольников, В – множество изображенных квадратов. У этих множеств нет общих элементов, то есть ни один элемент множества А не принадлежит множеству В, поэтому разностью множеств А и В будет множество А: А\В=А.

Разность двух множеств можно изобразить при помощи кругов Эйлера (рис. 36).

В работе с детьми чаще всего рассматривается второй случай, когда одно множество является подмножеством другого. Он учит выделять часть из множества, определяя оставшуюся часть. Это используется и для изучения действия вычитания чисел. Например, решая задачу: «В корзине лежало 7 огурцов, 2 из них съели. Сколько осталось?», выделяют три множества (первоначальное множество огурцов в корзине, множество съеденных огурцов, множество оставшихся огурцов):

· Сколько было огурцов в корзине? (7)

· Сколько съели огурцов? (2)

· Сколько осталось огурцов в корзине? (5)

· Как получилось число 5? (7 – 2 = 5).

Из исходного множества ребенок удаляет подмножество и считает количество элементов в оставшемся множестве. В данном случае разность множеств называется дополнением.

Если множество В является подмножеством множества А, то дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В:

Если В А, то В´ = { х | х Î А и х В }

Замечание:

А\В С – разность и объединение считают равноправными и выполняют по порядку в случае отсутствия скобок.

А\В С – сначала выполняют пересечение, как более «сильное» действие.

 

Задание 26

1. Перечислите элементы дополнения множества летних месяцев до множества месяцев года.

2.  Назовите характеристическое свойство дополнения множества А до N – множества натуральных чисел, если:

А – множество четных натуральных чисел;

А – множество чисел, кратных 5;

А – множество чисел, больших 10.