Рассмотрим однородные уравнения

        

(2.78)

 

,

(2.79)

 

для которых граничные условия имеют вид

 

.

(2.80)

 

а начальные условия таковы

        

(2.81)

 

для (2.78)

 

(2.82)

 

для (2.79).

Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных решений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям.

I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде

 

.

(2.83)

 

В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) получаем

 или .

Последнее уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций  и :

 

.

(2.84)

 

.

(2.85)

 

Как говорят, в уравнении (2.78) переменные разделены.

Подставляя (2.83) в граничные условия (2.80), получим

     , откуда

        

(2.86)

 

(т.к. случай  не представляет интереса, поскольку тогда ).

Для определения функции     получена з а д а ч а Ш т у р м а -   Л и у в и л л я: найти такие значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (2.85), удовлетворяющие граничным условиям (2.86). Те значения параметра , для которых задача (2.85) – (2.86) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами решения – собственными функциями. Нетривиальные решения задачи (2.85) – (2.86) возможны лишь при значениях

Этим значениям  соответствуют собственные функции

 .

При  общее решение уравнения (2.84) имеет вид

    ,                                              где  и  произвольные постоянные.

Таким образом, произведения функций  и  образуют частные решения уравнения (2.78), удовлетворяющие краевым условиям (2.80)

.

II. При помощи собственных функций строится общее решение уравнения в частных производных, которое в силу свойства линейного однородного уравнения можно взять в виде комбинации полученных частных решений - ряда

 

.

(2.87)

 

Для уравнения (2.78) общее решение имеет вид

 

.

(2.88)

 

Подставляя решение (2.88) в начальные условия (2.81), определяют значения коэффициентов  и , пользуясь разложением функций  и  в ряд Фурье (в ряд по системе собственных функций ). В результате имеем

 

, .

(2.89)

Решение уравнения теплопроводности (2.79) получается применением этой же схемы с той лишь разницей, что вместо уравнения (2.84) надо решать уравнение

или ,

общее решение которого есть

где  произвольные постоянные.

Следовательно,  и общее решение (2.87) принимает вид

 

.

(2.90)

 

Потребовав выполнения начального условия (2.82), коэффициенты  будут найдены как коэффициенты разложения функции  в ряд Фурье:

 

.

(2.91)

 

Приведенные здесь решения для линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями будут использованы также при рассмотрении неоднородных и однородных уравнений с однородными и неоднородными граничными условиями как составные части решений краевых задач.

Примеры решения задач

 

 

ПРИМЕР 2.44. Найти закон колебания однородной струны, закрепленной на концах  и . В начальный момент струна оттянута в точке  на высоту  (рис. 2.4) и затем отпущена без начальной скорости.

 

Решение. Задача сводится к решению уравнения

при граничных условиях  и начальных условиях

,

где - уравнение прямой ОА,   – уравнение прямой АВ (оба записываются как уравнение прямой с угловым коэффициентом).

Решение поставленной задачи определяется рядом (2.88)

,

где  - коэффициенты Фурье для функций, которые вычисляются по формулам (2.89).

, где .

В нашем случае

.

Вычислим первый интеграл

 

                         

           

           

 

Вычислим второй интеграл

                        

                        

                        

                        

Тогда

      

           

           

Определим .

, где .

В нашем случае , тогда   и решение   имеет вид

.

Полученный ряд описывает колебательный процесс: смещение  точки  струны в любой момент времени . Чтобы определить форму струны в момент , надо протабулировать функцию , ограничившись несколькими