| (2.58) |
называется характеристическим уравнением для уравнения (2.52), а его общие интегралы 
и 
характеристиками.
Характеристики линейного уравнения (2.52) используются для приведения его к каноническому виду. Уравнение (2.52) в каждой из областей, где сохраняется знак дискриминанта 
, приводится к эквивалентному уравнению, а именно к каноническому, путем введения вместо переменных 
и 
новых переменных 
и 
с помощью зависимостей
.
Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение имеет два интеграла, т.е. существуют два семейства действительных характеристик
и 
,
и потому следует сделать замену переменных, положив
,
в результате чего исходное уравнение преобразуется к уравнению (2.54) (или к уравнению (2.55) после дополнительной замены 
, где 
и 
новые переменные).
Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение имеет один действительный интеграл, т.е. одну характеристику 
, и потому полагают
,
где 
произвольная функция, например, 
. После такой замены уравнение приводится к виду (2.56).
Для уравнения эллиптического типа общие интегралы характеристического уравнения имеют вид
,
где 
функция, принимающая комплексные значения, а 
и 
действительные функции действительных переменных. С помощью подстановок
уравнение (2.52) приводится к каноническому виду (2.57).
После выбора новых переменных и требуется преобразовать производные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным и выражаются через производные по новым переменным и по известным формулам дифференцирования сложной функции двух переменных:
.
Вторые производные находятся путем дифференцирования выражений для 
и 
по правилу дифференцирования сложной функции.
Так как для каждого типа канонических уравнений разработаны определенные методы как аналитического, так и численного решения, то задача приведения уравнений (2.52) к каноническому виду представляет практический интерес.
Заметим, что в различных областях тип одного и того же уравнения (2.52) может быть различным.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.41. Определить тип уравнения
и привести его к каноническому виду.
Решение. Составим выражение 
. В данном случае 
, 
, тогда 
. Отсюда следует, что данное уравнение – уравнение гиперболического типа во всех точках плоскости, кроме лежащих на осях 
и 
. Оси координат являются линиями параболичности. Следовательно, уравнение можно привести к каноническому виду (2.54) в каждом из координатных углов. Составим характеристическое уравнение:
откуда получаем 
.
Интегрируя последние уравнения, получаем
и 
.
Сделаем замену: 
.
Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным:
,
.
Аналогично найдем
.
Подставим найденные 
и 
в исходное уравнение, и после приведения подобных получим
или 
.
Запишем теперь коэффициенты полученного уравнения в новых переменных. Из равенств 
и 
выразим 
, 
.
