Основные уравнения математической физики

К основным уравнениям математической физики относятся следующие уравнения в частных производных второго порядка, которые являются частными случаями уравнения (1.88).

1. Волновое и телеграфное уравнения

Уравнение

 

,

(1.102)

 

где  - скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением.

    В приведенном уравнении  обозначают декартовы координаты точки,  - время.

    Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

 

.

(1.103)

 

В одномерной области уравнение (1.102) принимает вид

 

.

(1.104)

 

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под  понимают поперечное отклонение точки  струны от положения равновесия в момент времени ; при каждом фиксированном значении  график струны  на плоскости  дает форму струны в этот момент времени);

б) продольные колебания упругого стержня (  - продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;

г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь (  - давление или расход).

Уравнение вида

 

(1.105)

 

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах (  - сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах (  - давление или скорость).

    Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

 

    2. Уравнение теплопроводности

Уравнение вида

 

,

(1.106)

 

где  - параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности.

    Оно имеет вид для плоского случая

 

,

(1.107)

 

для одномерного

 

.

(1.108)

 

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неустановившемся режиме распространения тепла (при этом  означает коэффициент температуропроводности, а  - температуру в любой точке исследуемой области в любой момент времени ); о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, фильтрация нефти и газа в подземных песчаниках (  - коэффициент пьезопроводности,  - давление в любой точке среды); о неустановившейся диффузии (  - коэффициент диффузии,  - концентрация); о течении жидкости в магистральных трубопроводах (  - давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением

 

,

(1.109)

 

где функция  характеризует интенсивность функционирующих источников.

    Уравнения (1.106)…(1.109) являются простейшими уравнениями параболического типа.

    3. Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

 

(1.110)

 

называется уравнением Пуассона в трехмерном пространстве. Если в этом уравнении , то оно называется уравнением Лапласа:

 

.

(1.111)

 

    Если ввести оператор , называемый оператором Лапласа, то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно

      и      .

    К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др.

    Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

    Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.