Лекция № Дисперсионный анализ для оценки влияния входных величин на выходной параметр
Однофакторный дисперсионный анализ
Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.
Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.
Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).
Чаще всего случается что число испытаний на различных уровнях различно, а именно: произведено q 1 испытаний на уровне F 1, q 2 испытаний на уровне F 2,…., q p испытаний – на уровне F p. В этом случае общую сумму квадратов отклонений находят по формуле:
(1.26)
где 
- сумма квадратов наблюдающихся значений признака на уровне F 1;
- сумма квадратов наблюдающихся значений признака на уровне F 2;
- сумма квадратов наблюдающихся значений признака на уровне F p;
- сумма наблюдающихся значений признака на уровне F 1;
- сумма наблюдающихся значений признака на уровне F 2;
- сумма наблюдающихся значений признака на уровне F p;
- общее число испытаний (объем выборки)
Факторная сумма квадратов отклонений находится по формуле:
(1.27)
Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней, которая характеризует рассеяние «внутри группы» находим по формуле:
(1.28)
Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим факторную и остаточную дисперсию:
(1.29)
(1.30)
Наблюдаемое значение F - критерия находится по формуле:
(1.31)
Критическую точку F кр находится по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора, F кр (a, k 1, k 2), где a - заданный уровень значимости, k 1 = n -(p +1) – число степеней свободы факторной дисперсии, k 2 = p – число степеней свободы остаточной дисперсии.
а) Если F набл < F кр, то переменная X i, которая обеспечила достижение только уровня F набл, исключается из уравнения.
б) Если F набл > F кр то переменная остается в регрессионном уравнении.
Контрольный пример.
Потребность в потреблении изданий учебной литературы изменяется под действием многих факторов. В одном исследовании были проведены измерения относительной урбанизации, образовательного уровня и относительного заработка для девятнадцати географических регионов с целью определить влияние этих факторов на потребление рассматриваемого продукта. Были получены следующие данные (в условных единицах).
Таблица 1.1 – Исходные данные
| Номер района | Относительная урбанизация Х1 | Образовательный уровень Х2 | Относительный заработок Х3 | Потребление продукта Y |
| 1 | 42,2 | 11,2 | 31,9 | 167,1 |
| 2 | 48,6 | 10,6 | 13,2 | 174,46 |
| 3 | 42,6 | 10,6 | 28,7 | 160,8 |
| 4 | 39,0 | 10,4 | 26,1 | 162,0 |
| 5 | 34,7 | 9,3 | 30,1 | 140,8 |
| 6 | 44,5 | 10,8 | 8,5 | 174,6 |
| 7 | 39,1 | 10,7 | 24,3 | 163,7 |
| 8 | 40,1 | 10,0 | 18,6 | 174,5 |
| 9 | 45,9 | 12,0 | 20,4 | 185,7 |
| 10 | 43,2 | 11,7 | 24,3 | 179,8 |
| 11 | 43,8 | 11,1 | 19,7 | 170,5 |
| 12 | 44,4 | 9,8 | 29,9 | 150,3 |
| 13 | 45,0 | 10,1 | 22,5 | 160,7 |
| 14 | 45,6 | 10,5 | 30,4 | 167,8 |
| 15 | 46,1 | 11,2 | 27,6 | 166,7 |
| 16 | 46,7 | 9,7 | 33,2 | 145,5 |
| 17 | 47,3 | 11,1 | 15,6 | 168,5 |
| 18 | 47,9 | 10,5 | 17,6 | 159,9 |
| 19 | 48,5 | 10,1 | 26,6 | 164,7 |
Для удобства значения каждой переменной разобьем на 5 уровней. Данные для каждой переменной занесем в соответствующую для каждой переменной таблицу.
Таблица 1.2 – Результаты испытаний для х1
|
| Номер испытания | |||||||
| Уровень фактора | Среднее значение х на уровне | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| F1 | 36,1 | 140,8 |
|
|
|
|
|
|
| F2 | 38,9 | 162,0 | 163,7 | 174,5 |
|
|
|
|
| F3 | 41,65 | 167,1 | 160,8 |
|
|
|
|
|
| F4 | 44,4 | 179,8 | 170,5 | 150,3 | 174,6 | 160,7 | 167,8 |
|
| F5 | 47,2 | 185,7 | 166,7 | 145,5 | 168,5 | 159,9 | 164,7 | 174,4 |
Таблица 1.3 – Результаты испытаний для х2
|
| Номер испытания | |||||||
| Уровень фактора | Среднее значение х на уровне | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| F1 | 9,57 | 140,8 | 145,5 | 150,3 |
|
|
|
|
| F2 | 10,11 | 174,5 | 160,7 | 164,7 |
|
|
|
|
| F3 | 10,65 | 162,0 | 167,8 | 159,9 | 174,4 | 160,8 | 163,7 | 166,7 |
| F4 | 11,19 | 170,5 | 168,5 | 167,1 | 166,7 |
|
|
|
| F5 | 11,73 | 179,8 | 185,7 |
|
|
|
|
|
Таблица 1.4 – Результаты испытаний для х3
|
| Номер испытания | ||||||
| Уровень фактора | Среднее значение х на уровне | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F1 | 36,1 | 174,6 | 174,4 |
|
|
|
|
| F2 | 38,9 | 168,5 | 159,9 |
|
|
|
|
| F3 | 41,65 | 174,5 | 170,5 | 185,7 | 160,7 |
|
|
| F4 | 44,4 | 163,7 | 179,8 | 162 | 164,7 | 166,7 |
|
| F5 | 47,2 | 160,8 | 150,3 | 140,8 | 167,8 | 167,1 | 145,5 |
Для примера разберем расчет х1
Результаты для остальных переменных выполняются аналогично и заносятся в таблицу.
Таблица 1.5 – Результаты расчетов F – критерия для х1, х2, х3
| Sобщ | Sфакт | Sост | s2факт | s2ост | Fнабл | |
| x1 | 2230,37 | 643,12 | 1587,25 | 160,78 | 113,37 | 1,42 |
| x2 | 2140,31 | 1814,69 | 325,62 | 453,67 | 23,26 | 19,51 |
| x3 | 2230,37 | 1011 | 1219,37 | 252,75 | 87,1 | 2,9 |
Критическую точку F кр находим по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора, F кр (0.05,4, 14)=3.11.
Исходя из расчетов оставляем только переменную х2.
