Любую точку 
на плоскости или в пространстве можно задать её координатами в декартовой системе координат.
Декартову систему координат на плоскости образуют две перпендикулярные оси (
и 
), на которых указана точка отсчета – начало координат (точка 
), направления положительного отсчета (направления осей) и масштаб (рис. 1.8).
Любая точка задается своими координатами (проекциями на оси). Так на рис. 1.6 точка 
имеет координаты 
, 
– 
.
Декартову систему координат в пространстве образуют три взаимно перпендикулярно направленных оси с общим началом : 
. При этом любая точка задается своими координатами-проекциями 
на оси (рис. 1.9).
Рис. 1.8 Рис.1.9
Определение 1. Расстоянием между двумя точками 
и 
на плоскости называется число
. (1.24)
Определение 2. Расстоянием между двумя точками 
и 
в пространстве называется число
. (1.25)
Определение 3. Геометрическим вектором называют направленный отрезок 
с начальной точкой 
и конечной точкой 
, который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе (рис. 1.10).
Определение 4. Длиной (модулем) вектора называется число 
, равное длине отрезка 
, который используется для изображения вектора.
Определение 5. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Определение 6. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 
(например, 
; 
).
Определение 7. Произведением вектора 
на число 
называется вектор 
, который:
1) имеет длину 
;
2) имеет направление, совпадающее с направлением при 
и противоположное направление при 
(рис. 1.11).
Рис. 1.10 Рис. 1.11
Определение 8. Вектор 
называется противоположным вектору .
Определение 9. Суммой векторов  называется вектор  , начало которого совпадает с вектором , и конец – с концом вектора  при совмещении начала вектора с концом вектора (рис. 1.12).
| 
Рис. 1.12
|
Определение 10. Разностью векторов называется сумма вектора и вектора 
, противоположного вектору (рис. 1.13).
Сумма и разность векторов могут быть представлены, как диагонали параллелограмма, построенного на векторах ; 
(рис. 1.13). При этом одна из диагоналей 
является суммой векторов , а вторая 
– их разностью.
Рис. 1.13
Векторы могут быть заданы с помощью декартовой системы координат на плоскости и в пространстве.
Введем декартовы системы координат на плоскости 
(рис. 1.14) и в пространстве 
(рис. 1.13).
Рис. 1.14
| 
Рис. 1.15
|
1. Если вектор параллелен плоскости , то перенесем его параллельно самому себе (сделать это можно по определению вектора) так, чтобы его начало совпало с началом координат. Введем два вектора 
параллельные осям и , ориентированные вдоль них и имеющие единичные длины (рис. 1.14):
.
Тогда по правилу сложения:
,
где 
– проекции точки на оси координат (конца вектора ).
2. В общем случае, совмещая начало вектора с началом координат декартовой системы (см. рис. 1.15) и вводя три вектора 
, имеющие единичную длину и ориентированные вдоль осей получим
,
где 
– проекции конца вектора (точки ) на оси координат.
Определение 11. Координатами вектора называются координаты его конечной точки при условии совмещения начальной точки с началом координат.
Любой вектор полностью определен своими координатами 
на плоскости и 
в пространстве. При этом для векторов 
; 
и 
справедливы соотношения:
1. 
;
2. 
; (1.26)
3. 
.
Как следует из рис. 1.14, 1.15:
– на плоскости;
– в пространстве.
Пусть вектор задан координатами начальной и конечной 
точек с координатами 
, 
.
Тогда проекции на оси (рис. 1.16) будут равны:
.
Поэтому имеем:
;
.
Длина вектора равна длине отрезка 
:
. (1.27)
Определение 12. Скалярным произведением двух векторов называется число 
, равное:
, (1.28)
где 
– угол, образованный векторами .
Зададим векторы в координатной форме
, .
Пусть 
по теореме косинусов (рис. 1.17) имеем:
.
Находим:
.
Рис. 1.16 Рис. 1.17
Таким образом, имеем:
. (1.29)
Учитывая, что
;
,
из формул (1.28), (1.29), получаем:
. (1.30)
Примеры.
1. Вектор на плоскости получен из вектора  в результате поворота по часовой стрелке на угол  . Найти вектор .
Решение. Согласно рис.1.18 и условию задачи:
 .
|  Рис. 1.18
|
2. Пусть 
; 
; 
; 
. Найти:
а) 
, 
;
б) угол между векторами 
и 
.
Решение
а) 
; 
;
;
.
б) 
,
, 
.
3. Пусть 
; 
. При каком значении 
:
а) векторы и коллинеарны;
б) угол между векторами и равен .
Решение.
а) Если векторы и коллинеарны, то они лежат на одной или параллельных прямых (рис. 1.19, 1.20).
 Рис. 1.17
|  Рис. 1.18
|
Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, если 
, где 
и 
. Для 
получаем 
. Для координат имеем: 
. Поэтому:
.
Из условия задачи получаем: 
.
б) Если угол 
, то 
. Поэтому: 
.
Имеем:
;
.
