Множество геометрических векторов

Любую точку на плоскости или в пространстве можно задать её координатами в декартовой системе координат.

Декартову систему координат на плоскости образуют две перпендикулярные оси ( и ), на которых указана точка отсчета – начало координат (точка ), направления положительного отсчета (направления осей) и масштаб (рис. 1.8).

Любая точка задается своими координатами (проекциями на оси). Так на рис. 1.6 точка имеет координаты , – .

Декартову систему координат в пространстве образуют три взаимно перпендикулярно направленных оси с общим началом : . При этом любая точка задается своими координатами-проекциями на оси (рис. 1.9).

Рис. 1.8 Рис.1.9

Определение 1. Расстоянием между двумя точками и на плоскости называется число

. (1.24)

Определение 2. Расстоянием между двумя точками и в пространстве называется число

. (1.25)

Определение 3. Геометрическим вектором называют направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой , который можно перемещать в пространстве параллельно самому себе (рис. 1.10).

Определение 4. Длиной (модулем) вектора называется число , равное длине отрезка , который используется для изображения вектора.

Определение 5. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Определение 6. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается (например, ; ).

Определение 7. Произведением вектора на число называется вектор , который:

1) имеет длину ;

2) имеет направление, совпадающее с направлением при и противоположное направление при (рис. 1.11).

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Определение 8. Вектор называется противоположным вектору .

Определение 9. Суммой векторов

называется вектор

, начало которого совпадает с вектором

, и конец – с концом вектора

при совмещении начала вектора

с концом вектора

(рис. 1.12).

Рис. 1.12

Определение 10. Разностью векторов называется сумма вектора и вектора , противоположного вектору (рис. 1.13).

Сумма и разность векторов могут быть представлены, как диагонали параллелограмма, построенного на векторах ; (рис. 1.13). При этом одна из диагоналей является суммой векторов , а вторая – их разностью.

Рис. 1.13

Векторы могут быть заданы с помощью декартовой системы координат на плоскости и в пространстве.

Введем декартовы системы координат на плоскости (рис. 1.14) и в пространстве (рис. 1.13).

Рис. 1.14

Рис. 1.15

1. Если вектор параллелен плоскости , то перенесем его параллельно самому себе (сделать это можно по определению вектора) так, чтобы его начало совпало с началом координат. Введем два вектора параллельные осям и , ориентированные вдоль них и имеющие единичные длины (рис. 1.14):

Тогда по правилу сложения:

где – проекции точки на оси координат (конца вектора ).

2. В общем случае, совмещая начало вектора с началом координат декартовой системы (см. рис. 1.15) и вводя три вектора , имеющие единичную длину и ориентированные вдоль осей получим