Итерационный цикл организуется

• когда число итераций определяется в процессе вычислений, в зависимости от получаемых результатов; например, вычисления выполняются по одинаковым формулам с использованием при очередной итерации в качестве исходных данных результатов предыдущей итерации:

  x, y, z на очередной итерации(очередные значения переменных!!!) à пересчитываются в зависимости от значенийэтих переменных x, y, z на предыдущем этапе;

завершение работы цикла происходит, например, при достижении заданной точности, т.е. когда результаты вычислений на очередной итерации отличаются от предыдущих результатов не больше чем на некоторую заданную величину ε (эпсилон).

 

Итерационные циклы тесно связаны с итерационными методами решения уравнений и систем.

Примеры алгоритмов с итерационными циклами:

• вычисление корня нелинейного уравнения (методом итераций, методом касательных (Ньютона), методом деления отрезка пополам и т.д.),

•  вычисление суммы бесконечного числа слагаемых (функции путем разложения ее в бесконечный ряд (ряд Тейлора), интеграла и т.д.)

 

Если изобразить общую схему итерационного цикла, то в нем обязательно будут переменные, сохраняющие результат предыдущего (х1) и еще более ранних (х2,...) шагов, а также переменная х – результат текущего шага:

for (х1=..., х2=...; условие(х1,х2); х2=х1,х1=х)

{...х = f (x 1, x 2);...}

 

Например, вычислить у = √х  как предельное значение последовательности, определяемой рекуррентной формулой: y_k=(y_k-1 + x/y_k-1)/2  для k = 1, 2,.…     

нач
вещ Х, Ynew, Yold;
вещ epsilon;
ввод X, epsilon;        // ввод значения переменной х и точности epsilon
Yold = X;
Ynew = (Yold + X/ Yold)/2;
пока  (abs (Ynew – Yold) >= epsilon)   цикл
                                     Yold= Ynew;
                                          Ynew= (Yold + X/ Yold)/2;
кцикл
вывод Ynew;

кон

 

-----------------------------------------------------------------------------------------

 

Рассмотрим вычисление числа π.

 

π/4 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-….                                

π = 4 * π/4;                                                            

 

Найдем выражение для пересчета значения последующего слагаемого через предыдущее:

 

 

#define _USE_MATH_DEFINES

#include <math.h>  

#include <iostream> //включение заголовков для ввода/вывода в поток в стиле С++

#include <iomanip>

using namespace std; //подключение стандартного пространства имен              

 

int main()

{

     int k = 1;

     double x = 1.0, sum = x, eps = 0.000001;

         

     while (abs(x) > eps)

     {        

           x = -x *(2 * k - 1)/(2 * k + 1);

           sum += x;

           k++;

     }

     cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(7);

     cout << "summa:" << setw(11) << sum << endl;

     cout << endl;

     cout << "PI:" << setw(11) << sum * 4 << endl;

     system("pause");         

     return 0;

  }

 

Директива #include <iomanip> подключает заголовочный файл с объявлениями манипуляторов, определяющих форматирование вывода:

• setw(n) – значение   n задает минимальную ширину поля вывода;
• setprecision(m) – значение   m задает точность представления вещественных чисел (максимальное количество цифр дробной части при вводе и выводе);
• setiosflags(ios:: fixed) – устанавливает форматный флаг потока ввода-вывода для представления вещественных чисел в формате с фиксированной точкой;
• setiosflags(ios:: scientific) – устанавливает форматный флаг потока ввода-вывода для представления вещественных чисел в формате с мантиссой и порядком.

Результат:
summa: 0.7853987

 

PI: 3.1415947

Напомним, что точность  eps = 0.00000 1.

-----------------------------------------------------------------------------------------