Полная система двухрядных матриц

Квантовая теория спина

 

Спин электрона – частный случай момента количества движения .

Как и другие операторы момента, оператор спина  является векторным, проекции которого (как и для любого момента) удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

 

                                                         (1)

 

.

 

Ранее было показано, что операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1), квантуются по следующим правилам:

Спин электрона (и нуклона) – частный случай момента, когда . Тогда проекция спина  принимает всего два значения, т.е. .

Ранее мы рассматривали вид операторов момента для случая, когда  и т.д. В случае :

 

. (2)        

 

Эти операторы эрмитовы и получены в представлении собственных функций операторов и .

Найдем собственные функции оператора . Ищем искомую волновую функцию в виде столбца . Тогда 

 

 

Волновые функции удовлетворяют условию ортонормированности , или

 

.

Так как

то

,

 

откуда .

Условие нормировки: .

1. ;

 

;

 

.

 

Решение .

2. ;

 

 

.

Тогда .

   Волновые функции  называются спинорами и образуют полную систему.

Легко показать, что .

 

Примеры:

1. Найти явный вид оператора  и убедиться в том, что его собственные значения имеют вид , где .

Решение:

 

 

 

 

Тогда

 

.

 

С другой стороны, так как , то

 

Для функции аналогично.

 

2. Убедиться, что для матриц (2) выполняются коммутационные соотношения (1).

Решение:

 

 

и т.д.

 

Спиновые матрицы Паули

В квантовой теории широко используются спиновые матрицы Паули. Они вводятся соотношением

                                                                     (3)       

.

Из (2) имеем:

 

        ;      (4)

 

;

 

.

 

Операторы (4) эрмитовы и унитарны.

Далее

                       .                              (5)   

 

Примеры:

1. Найти коммутационные соотношения для :

        (*)

Решение:

 

Из (1) имеем:

или

,

откуда

 и т.д.

 

2. Найти .

 

Решение:

 

 

Таким образом, матрицы  являются антикоммутирющими, т.е.  и т.д.

 

                    (**)

 

Комбинируя (*) и (**), получим:

 

 

Решение задач на свойства матриц Паули

1. Найти  двумя способами: 1- используя явный вид матриц Паули; 2 – используя коммутационные соотношения.

2. Найти , используя только коммутационные соотношения.

3. Вычислить , где  - некоторый вектор.

4. Могут ли квадраты проекций электронного спина на оси x, y и z иметь одновременно определенные значения?

 

Решение:

 

Задача сводится к вычислению коммутатора:

 

                                     (6)

 

Преобразуем следующим образом:

 

В итоге, подставляя полученное выражение в (6), получаем:

 

.

 

Такой же результат можно получить и другим способом:

 

.

 

Таким образом, квадраты проекций спина электрона могут одновременно иметь определенные значения.

 

5. Доказать равенство: .

Полная система двухрядных матриц

Можно показать, что система четырех двухрядных матриц  и  образуют полную систему.

В полной системе все элементы должны быть линейно независимыми, то есть нельзя получить любую матрицу из любой другой умножением ее на постоянное число. Это условие легко проверяется, кроме того, любую наперед заданную двухрядную матрицу можно разложить по полной системе:

 

                  .              (7)

 

Необходимо только определить коэффициенты разложения. Это делается с помощью шпуров – следов матриц. Шпур А равен сумме диагональных элементов:

 

                                                              (8)

 

Очевидно, . Шпур всех матриц Паули равен нулю. Коэффициенты  имеют вид:

 

.

 

Примеры:

1. Разложить по двухрядным матрицам  и следующие:

.