2. СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ КУНСТРУКЦИЙ
Равновесие составных тел
При решении задач об определении опорных реакций может оказаться, что из составленных условий равновесия невозможно определить все неизвестные величины, так как их число больше числа уравнений, в которые эти неизвестные входят. Подобное может произойти по двум основным причинам.
Во-первых, на рассматриваемое тело могут быть наложены лишние связи, ненужные для обеспечения равновесия абсолютно твёрдого тела, но необходимые для предотвращения недопустимо больших деформаций. В этом случае задача определения реакций опор является статически неопределимой в том смысле, что невозможно определить реакции связей без учёта деформаций тела, т.е. оставаясь в рамках модели абсолютно твёрдого тела. Такие задачи в теоретической механике не рассматриваются.
Во-вторых, в качестве тела, равновесие которого рассматривается, может быть выбрана конструкция, состоящая из двух или более тел, соединённых между собой внутренними связями. На такую конструкцию заведомо приходится накладывать дополнительные связи, обеспечивающие равновесие конструкции. Основная особенность решения таких задач состоит в том, что необходимо рассматривать равновесие нескольких тел данной конструкции.
Рассмотрим, например, трёх шарнирную арку 
, нагруженную активными силами 
и 
(Рис. 2.1). Можно рассмотреть равновесие арки в целом. Тогда в систему внешних сил войдут заданные силы и и силы реакций внешних опор – шарниров 
и 
. Соответствующая силовая схема представлена на Рис. 2.2.
| 
| |
| Рис. 2.1 | Рис. 2.2 |
Хотя такая арка не является абсолютно твёрдым телом, заранее известно, что она покоится и, следовательно, приложенные к ней силы удовлетворяют условиям равновесия. Наличие шарнира 
позволяет двум частям арки поворачиваться друг относительно друга. Для предотвращения такого поворота приходится усиливать одну из опор, например, ставить в точке шарнирно неподвижную опору вместо шарнирно подвижной. При этом число неизвестных составляющих сил реакций увеличивается – появляется 
. Трёх уравнений равновесия недостаточно для определения четырёх неизвестных. Поэтому приходится рассматривать равновесие ещё какой-либо части конструкции, например, стержня 
.
Для стержня шарнир является внешней опорой, поэтому его реакция входит в систему внешних сил, действующих на (Рис. 2.3). Для стержня можно составить ещё три уравнения равновесия, которые вместе с уравнениями равновесия, составленными для арки 
, образуют систему шести уравнений, содержащих шесть
неизвестных.
Можно рассмотреть равновесие правого стержня 
(Рис. 2.4). При этом следует учитывать, что силы взаимодействия в шарнире подчиняются третьему закону Ньютона: 
; 
. Для решения поставленной задачи достаточно рассмотреть равновесие только двух из трёх тел в любой комбинации. Условия равновесия третьего тела могут быть использованы для проверки полученных результатов.
| 
| |
| Рис. 2.3 | Рис. 2.4 |
Универсальный метод решения подобных задач состоит в том, что конструкция разбивается на отдельные абсолютно твёрдые тела и рассматривается равновесие каждого из этих тел. Однако, во многих случаях такой подход оказывается нерациональным, поскольку приводит к необходимости решения системы уравнений, каждое из которых может содержать несколько неизвестных. Причём в уравнения может входить значительное число лишних неизвестных, которые не требуется определять по условиям решаемой задачи. Приобретя определённые навыки, можно поставить целью поиск наиболее рационального способа решения задачи, в основе которого лежит идея использования минимального числа уравнений, каждое из которых, по возможности, содержит только одну неизвестную.
В заключение подчеркнём ещё раз – необходимо рисовать отдельную силовую схему для каждого тела, равновесие которого рассматривается.
Пример 2.1.
|
| Рис. 2.5 |
Стержневая конструкция нагружена силами ; и парой сил с моментом 
(Рис. 2.5).
Дано: 
м; 
кН; 
кН; 
кН м; 
. Определить усилия в шарнирах 
Нужно определить шесть составляющих реакций шарниров. Для получения необходимых для этого шести уравнений можно рассмотреть равновесие всей конструкции и одного из стержней или равновесие каждого из стержней. С точки зрения удобства вычисления плеч сил, предпочтительнее рассмотреть равновесие каждого из стержней.
Рассмотрим равновесие стержня 
. Силовая схема представлена на Рис. 2.7. Можно составить "стандартную" систему уравнений равновесия:
| 
| |
| Рис. 2.6 | Рис. 2.7 |
Нетрудно видеть, что только последнее уравнение системы позволяет сразу определить неизвестную
кН
Однако, если составить уравнение
то сразу определяется вторая неизвестная
кН
Надобность в уравнении пропадает, уравнение используем в дальнейшем для определения 
.
Рассмотрим равновесие стержня . (При составлении уравнений равновесия учитывается, что 
; 
.) Силовая схема представлена на Рис.4.7. Прежде всего, определим 
. Для этого составим уравнение
Отсюда
кН.
Теперь можно использовать уравнение (
): 
кН Для определения оставшихся неизвестных используем уравнения
Отсюда: 
кН; 
кН.
Пример 2.2.
|
| Рис. 2.8 |
Однородные балки весом 
и весом 
соединены между собой шарниром (Рис. 2.8). Балка горизонтальна, её левый конец заделан в стену. Балка опирается на гладкую вертикальную стену, с которой образует угол . Дано: 
м; 
м; 
H; 
H. Определить реакции опорных стен.
Поскольку по условию задачи не требуется определять усилия во внутреннем шарнире , имеет смысл рассмотреть равновесие всей конструкции (Рис. 2.9). Составим уравнения равновесия:
()
(
)
(
)
| 
| |
| Рис. 2.9 | Рис. 2.10 |
Только уравнение () позволяет сразу определить 
Н. Для вычисления других неизвестных необходимо определить 
. Рассмотрим равновесие (Рис. 2.10). Составим уравнение:
Отсюда:
Н.
Из уравнений () и () находим:
Н; 
Нм.
Пример 2.3.
|
| Рис. 2.11 |
Однородный стержень весом может вращаться вокруг шарнира . Он опирается на такой же стержень 
, который может вращаться вокруг оси 
, проходящей через его середину (Рис. 2.11). Точки и 
лежат на одной вертикали. 
В точке 
подвешен груз 
Определить угол 
, образуемый стержнем с вертикалью в положении равновесия. Трением пренебречь.
Особенностью задачи является то обстоятельство, что требуется определить только одну неизвестную . Другими возможными неизвестными являются четыре составляющие реакций шарниров и , а также сила взаимной реакции стержней в точке . Для решения задачи принимаем следующую схему.
Рассмотрим равновесие стержня (Рис. 2.12). Составим уравнение моментов относительно оси 
:
Величину найдём как основание равнобедренного треугольника 
:
Таким образом,
()
|
| |
| Рис. 2.12 | Рис. 2.13 |
Рассмотрим равновесие стержня (Рис. 2.13). Составим уравнение моментов относительно оси :
или
()
так как
Исключая из уравнений () и () , получаем:
или 
Интерес представляет решение 
Пример 2.4.
Стержень жёстко закреплён в точке и соединён шарниром со стержнем . В точке установлен подвижный шарнир. На стержень действует линейно распределённая нагрузка максимальной интенсивности 
и сила . На стержень действует однородная распределённая нагрузка интенсивности 
и пара сил с моментом 
. Размеры указаны на чертеже (Рис. 2.14). Определить реакции опор.
Рассмотрим равновесие всей конструкции. Внешними опорами для будут жёсткая заделка в точке и шарнир . Распределённую нагрузку заменяем равнодействующими 
и 
. Силовая схема представлена на Рис. 2.15. Условия равновесия имеют вид:
причём, 
и 
| 
| |
| Рис. 2.14 | Рис. 2.15 |
Полученные три уравнения содержат четыре неизвестные. Это объясняется тем, что условия, являющиеся достаточными для равновесия абсолютно твёрдого тела, использованы для тела деформируемого, для которого они являются только необходимыми. Для получения достаточного количества уравнений рассмотрим равновесие одной из частей конструкции, например, левого стержня . Для этого стержня внешними силами, помимо прочего, будет и реакция шарнира (Рис. 2.16).
Условия равновесия имеют вид:
Решая полученную систему уравнений, находим все неизвестные.
Подобная схема решения применима для любых задач о равновесии сочленённых тел. Нетрудно, однако, заметить, что решение полученной системы уравнений связано с определёнными трудностями, поскольку в большинстве уравнений содержится более одной неизвестной. Приобретя определённые навыки в составлении уравнений равновесия, можно поставить задачу составления в каждом конкретном случае наиболее просто решаемой системы уравнений.
Обратимся к разобранному примеру. Можно предложить следующую схему решения задачи.
Тело :
Отсюда: 
|
| |
| Рис. 2.16 | Рис. 2.17 |
Тело (Рис. 2.17). Учитывая, что 
; 
, получаем:
Отсюда: 
Тело :
Отсюда: 
Как видно, таким способом мы можем последовательно определить все неизвестные.
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.32; 4.35; 4.36; 4.37; 4.38; 4.41; 4.42; 4.43; 4.44; 4.53; 4.54; 4.55; 4.56.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-5; СР-6; СР-7.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
2.2. Расчёт ферм
Особое место в ряду статических задач занимает расчёт ферм. Фермой называется жёсткая конструкция из прямолинейных стержней. Если все стержни фермы и вся приложенная к ней нагрузка расположены в одной плоскости, ферма называется плоской. В дальнейшем будем рассматривать только плоские фермы. Соединения стержней называются узлами фермы.
В результате полного расчёта фермы необходимо определить реакции опор и усилия во всех стержнях фермы.
При расчёте ферм приложенную внешнюю нагрузку (включая весовую нагрузку) заменяют эквивалентной системой, силы которой приложены к узлам фермы. В реальных фермах соединения стержней, как правило, жёсткие (сварка, клёпка и т.д.), так что они не допускают относительного поворота стержней. В расчётной схеме крепления стержней считаются шарнирными, причём, трение в шарнирах считается пренебрежимо малым.
В результате сделанных упрощающих предположений оказывается, что каждый стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных к его концам. Эти силы должны иметь общую линию действия, т.е. они направлены вдоль стержня. Таким образом, считается, что каждый стержень фермы работает или на растяжение, или на сжатие, но не может испытывать кручения или изгиба. Усилие в стержне считается положительным, если он растянут.
Для определения усилий в стержнях фермы используются два основных метода.
Пример
Рассчитать ферму, изображённую на Рис. 2.18.
Дано: 
кН; 
м.
|
| Рис. 2.18 |
Прежде всего обозначим все узлы и все стержни фермы. Определим реакции опор. Для этого рассмотрим равновесие фермы в целом (Рис. 2.19). Составим условия равновесия:
Отсюда:
|
| Рис. 2.19 |
Поскольку вычисленные величины опорных реакций определяют весь дальнейший расчёт, имеет смысл проверить полученные результаты, составив, например, уравнение моментов относительно оси 
(чтобы в это уравнение вошли все вычисленные величины):
Для определения усилий в стержнях фермы используются два основных метода.
Метод вырезания узлов. Метод состоит в том, что рассматривается равновесие каждого узла фермы в определённой последовательности. На узел действует плоская система сходящихся сил, для которой можно составить два уравнения равновесия, что позволяет определить две неизвестные. Поэтому расчёт начинают с узла, соединяющего два стержня фермы. Затем переходят к соседним узлам в определённой последовательности, которая позволяет на каждом шаге определять усилия в очередных двух стержнях. Первоначально предполагается, что стержни растянуты, т.е. их реакции направлены от узлов. Если усилие в каком-либо стержне оказывается отрицательным, то это означает, что данный стержень сжат.
Заметим, что уравнения равновесия фермы в целом являются прямым следствием полной системы уравнений равновесия узлов, так что методом вырезания узлов можно определить в том числе и реакции опор фермы. Но в этом случае часто приходится совместно решать систему, содержащую значительное число уравнений. Предварительное определение реакций опор упрощает решение задачи, а неиспользованные уравнения равновесия узлов можно рассматривать как проверочные.
Рассмотрим равновесие узла
Отсюда: 
(стержень сжат)
(стержень сжат).
Рассмотрим равновесие узла
Отсюда:
(стержень растянут)
(стержень сжат).
Рассмотрим равновесие узла 
Значения тригонометрических функций определим из треугольника 
:
Таким образом,
(стержень растянут)
(стержень сжат).
Рассмотрим равновесие узла
Отсюда:
(стержень сжат).
(стержень сжат).
Рассмотрим равновесие узла
Отсюда:
(стержень растянут)
(стержень сжат).
Рассмотрим равновесие узла 
Отсюда:
(стержень растянут)
Таким образом, определены усилия во всех стержнях фермы. Оставшиеся уравнения используем для проверки полученных результатов.
Рассмотрим равновесие узла
Метод сквозных сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчётов. Идея метода состоит в том, что ферма разделяется сечением на две части и рассматривается равновесие одной из этих частей. Сечение проводится по трём стержням фермы, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилие. Действие отброшенной части фермы заменяют соответствующими реакциями, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Условия равновесия составляются так, чтобы в каждое уравнение входила только одна неизвестная величина.
Если сечение проводится более, чем по трём стержням, то усилия в "лишних" стержнях должны быть определены предварительно. В противном случае будет необходимо рассмотреть комбинацию из нескольких сечений или комбинацию метода сечений и метода вырезания узлов.
В качестве примера проведём сечение через шестой, седьмой и восьмой стержни. Рассмотрим равновесие правой части фермы (Рис. 2.20).
Уравнения равновесия имеют вид:
Отсюда:
|
| Рис. 2.20 |
Условие жёсткости фермы. Найдём минимальное число стержней 
, которое необходимо для образования плоской фермы, имеющей 
узлов. Простейшая ячейка фермы (треугольник) имеет три стержня и три узла. Для присоединения каждого из оставшихся 
узлов необходимо два стержня. Таким образом, условие жёсткости фермы имеет вид: 
Условие статической определимости фермы. Ферма является статически определимой, если число неизвестных совпадает с числом независимых уравнений равновесия, в которые эти неизвестные входят. Для плоской фермы, имеющей узлов, можно составить 
уравнений равновесия, три из которых расходуются на определение трёх составляющих реакций опор. Для определения усилий в стержнях фермы остаётся 
уравнения. Таким образом, условие статической определимости фермы совпадает с условием её жёсткости.
Методы расчёта фермы рассмотрим на примере.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
- В чём суть упрощающих предположений, принимаемых при расчёте фермы?
- В чём состоит метод вырезания узлов?
- В чём состоит метод сквозных сечений?
- Каково условие жёсткости фермы?
- Каково условие статической определимости фермы?
ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:
Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.66; 4.67; 4.68; 4.70; 4.71; 4.73; 4.74.
Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-8; СР-9; СР-10; СР-11.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
СИЛА ТРЕНИЯ
|
| Рис. 3.1 |
Свойства силы трения устанавливаются по результатам следующего эксперимента. На горизонтальной поверхности находится тело, к которому приложены две активные силы: нормальная к поверхности сила , модуль которой в ходе эксперимента не изменяется (например, сила тяжести), и сила направленная параллельно поверхности, модуль которой в ходе эксперимента постепенно увеличивается (Рис. 3.1). Со стороны поверхности возникают в ответ нормальная реакция 
и сила трения 
.
Установленные в результате обработки описанного эксперимента закономерности сводятся к следующим положениям (законы Амантона-Кулона).
1. Сила трения действует в общей касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и противоположна тому направлению, в котором активно действующие силы стремятся сдвинуть тело.
2. Модуль силы трения при покое принимает всякий раз значение, необходимое для предотвращения проскальзывания тела по поверхности, но не может превзойти некоторого предельного значения, которое достигается на грани перехода тела от состояния покоя к состоянию скольжения: 
3. Максимальное значение силы трения при покое пропорционально нормальному давлению тела на поверхность: 
, где 
– коэффициент трения при покое, который определяется экспериментально. Коэффициент зависит от материала тел, шероховатости, влажности, температуры трущихся поверхностей, но на его значение в широких пределах не влияют размеры площадки контакта тел.
4. При скольжении тела по шероховатой поверхности сила трения пропорциональна силе нормальной реакции поверхности: 
и направлена в сторону, противоположную скольжению. Динамический коэффициент трения 
(коэффициент трения скольжения), помимо прочего, может зависеть от относительной скорости скольжения.
Пример 3.1.
Установить, будет ли находиться в покое тело, изображённое на Рис. 3.1, если 
Н; 
Н; 
Предположим, что тело находится в покое; тогда уравнения равновесия имеют вид:
Отсюда: 
Н; 
Н.
Вычислим максимально возможную силу трения: 
Н.
В рассматриваемом случае вычисленная из уравнений равновесия сила трения оказалась меньше максимально возможной, следовательно, условие равновесия 
выполнено и тело находится в покое и 
Н.
Пример 3.2.
Сохраняя условия предыдущего примера, положим 
Н.
Аналогично примеру 3.1, вычисляем 
Н; Н. Очевидно, что покой нарушится, так как необходимая для предотвращения скольжения сила оказалась больше максимально возможной силы трения. Таким образом, нарушено условие равновесия 
, тело придёт в движение, а сила трения примет максимальное значение: 
Н.
Пример 3.3
Однородный стержень опирается на гладкую стену и негладкий пол, образуя с полом угол 
(Рис. 3.2). Вес стержня . В точке привязан трос, протянутый по полу, который растягивается гирей весом . Коэффициент трения . Определить, при каких значениях возможно равновесие. Трением на блоке пренебречь.
| 
| |
| Рис. 3.2 | Рис. 3.3 |
При потере равновесия возможно скольжение точки по полу как влево, так и вправо. Найдём сначала минимальное значение , при котором ещё возможно равновесие. Если разгружать тело (уменьшать ), то при потере равновесия точка будет скользить влево. Силовая схема представлена на Рис. 3.3. Составим условия равновесия:
При потере равновесия 
Разрешим полученную систему уравнений относительно 
. Учитывая, что 
, находим: 
.
При определении 
заметим, что при потере равновесия точка будет скользить вправо и, следовательно, направление силы трения следует изменить на противоположное, что соответствует изменению знака перед силой трения в полученном выше решении:
Таким образом, равновесие стержня возможно, если его вес заключён в пределах
Пример 3.4
На верхней грани прямоугольного бруса , вес которого 
, находится прямоугольный брус веса 
. Брус опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность , причём коэффициент трения между ними 
(Рис. 3.4). Коэффициент трения между телами и равен 
. На брус действует сила 
, образующая с горизонтом угол 
. Будет ли брус двигаться относительно ? Будет ли брус двигаться относительно плоскости ?
|
| Рис. 3.4 |
Предположим, что верхний брус находится в покое относительно бруса . Уравнения равновесия имеют вид (Рис. 3.5):
Отсюда: 
Вычислим максимальную силу трения:
Как видно, сила трения, найденная из уравнений равновесия, т.е. необходимая для обеспечения равновесия тела, меньше максимально возможной силы трения. Следовательно, условие равновесия 
выполнено, тело будет покоиться относительно тела , а сила трения оказывается равной 
| 
| |
| Рис. 3.5 | Рис. 3.6 |
Предположим теперь, что брус покоится относительно опорной плоскости . Уравнения равновесия имеют вид (Рис. 3.6):
Отсюда, учитывая, что 
и 
, получаем:
Максимально возможная сила трения равна: 
Как видно, сила трения, найденная из уравнений равновесия, т.е. необходимая для обеспечения равновесия тела, меньше максимально возможной силы трения. Следовательно, условие равновесия 
выполнено, тело будет покоиться относительно плоскости , а сила трения оказывается равной 
Пример 3.5
На верхней грани прямоугольного бруса , вес которого , находится прямоугольный брус веса . Брус опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность , причём коэффициент трения между ними (Рис. 3.5). Коэффициент трения между телами и равен 
. На брус действует сила , образующая с горизонтом угол . Будет ли брус двигаться относительно ? Будет ли брус двигаться относительно плоскости ?
Как видно, по сравнению с предыдущим примером изменился коэффициент трения между телами и . Ход решения задачи остаётся прежним, но изменяются числовые результаты.
Теперь сила трения, необходимая для обеспечения покоя тела относительно тела , осталась прежней – 
а максимально возможная сила трения оказывается равной
Следовательно, условие равновесия не выполнено, тело будет скользить по верхней грани бруса
