Числовая последовательность задается формулой общего члена.

Математика в экономике  

 

В настоящее время математика служит фундаментом экономических дисциплин. Овладение ее методами и умение применять их на практике необходимы каждому экономисту, поэтому цель этого курса – изложение основ современной математики и их приложение в экономике.

При изучении экономических процессов постоянно используются функции спроса, предложения, издержек, полезности, функции, связанные с банковскими операциями, производственные функции и др. Поэтому важно иметь представления о различных функциях, уметь строить их графики, знать, как поведет себя функция на заданных участках.

 Применяя методы исследования функции можно, например, рассчитать площадь максимального сечения фигуры, участка, обнесенного забором, и т.д. Это необходимо при решении различных экономических и инженерных задач.

В курс входит теория пределов, дифференциальное исчисление, исследование функций с помощью производных, интегральное исчисление, расчет площади геометрических фигур с помощью определенного интеграла, практические занятия.

Прежде чем начать изучение нового материала необходимо вспомнить некоторые темы из курса школьной программы математики.

В бухгалтерском учете понадобятся умение находить проценты от заданного числа, находить число по заданной величине его процента или решать задачи на нахождение процентного отношения.

Для решение примеров на нахождение придела функции, или нахождение производных функций, необходимо вспомнить действие со степенями, уметь решать линейные и квадратные уравнения, разложение квадратного трехчлена на множители, знать вид элементарных функций и уметь строить их графики.

Проценты

Нахождение процента от числа

1). Чтобы найти какой либо процент от числа надо это число разделить на 100 и результат умножить на количество процентов.

или

2).Чтобы найти какой либо процент от числа надо перевести процент в десятичную дробь и умножить заданное число на эту дробь.

Пример: Найти 15% от 50

1). 50: 100 х 15 = 7,5

2). 15% = 0,15 50 х 0,15 = 7,5

Примеры:

Найти 30% от 40; 210% от 14; 80 % от 25; 2,5% от 5; 0,4% от 20

Нахождение числа по заданной величине его процента

1). Чтобы найти число по заданной величине его процента надо эту величину разделить на количество процентов и результат умножить на 100.

2). Чтобы найти число по заданной величине его процента надо перевести процент в десятичную дробь и заданную величину разделить на эту дробь.

Пример: найти число. Если 40% от него равны 50

1). 50: 40 х 100 = 125

2). 40% = 0,4; 50: 0,4 = 125

Примеры:

 

если 1% от него равен 8; 3; 50; 1,4; 2; 0,5

Найти число, если 30% его равны 90; 20% его равны 5;

200% его равны 70; 75% его равны 15; 1,2 % его равны 24.

Процентное отношение

Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Делим всегда на число, которое равно 100 %.

Пример:

Найти сколько процентов составляет 5 от 25 

5: 25 х 100 = 20

Найти сколько процентов составляет 4 от 8; 0,5 от 40; 15 от 10; 50 от 100; 75 от 50

Решение примеров и задач с карточек.

Решение линейных и квадратных уравнений

Основные формулы:

Линейное уравнение имеет вид

ax + b = 0

1. Если а ≠ 0 и b≠0, то  x = - b/a,

2. Если а = 0 и b = 0. то уравнение имеет бесконечное множество решений;

3. Если а = 0, а  b ≠ 0, то уравнение не имеет решений.

Решить уравнение:

 

Квадратное уравнение имеет вид:

aх² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

Х_1,2= - b ± √ b² - 4ac 

 

Решить уравнения

Разложение квадратного трехчлена на множители

aх² + bx + c = а (х – х_.1)(х – х₂)

пример: разложить квадратный трехчлен на множители

5х² + 3x - 8  = 0

5х² + 3x - 8 = (х - 1)(5х + 8)

Основные свойства степеней

См. таблицу

Решение примеров со степенями.

 

Функции и их графики

Понятие функции

Величина у называется функцией переменной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует определенное значений у, при этом х называют аргументом.

Область определения функции

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции у.

Способы заданий функции

- аналитический

-графический

- параметрический

 

Область значений функции

Все значения. Которые принимает функция там. Где она определена.

Линейная функция

у = кx + b

к – угловой коэффициент

к – тангенс угла наклона прямой к оси х

если к > 0, то функция возрастает, если  к < 0, то функция убывает

Квадратичная функция

у = aх² + bx + c

частный случай у = aх²

Гипербола

обратная пропорциональность

у = к/х, если к > 0, то функция располагается в 1и 3 четвертях, если  к < 0, то функция располагается в о 2 и 4 четвертях

 

 

Лекция 2

Теория пределов

Числовая последовательность

Числовая последовательность – это множество нумерованных чисел, расположенных в порядке возрастания номеров, т.е. каждому натуральному числу (номеру последовательности) поставлено в соответствие определенное число (член последовательности).

Х_п = f(n) каждый член последовательности есть некоторая функция своего номера.

Числовая последовательность задается формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей:

 

Х_п = 2n – 1; х₁=1, х ₂ =3, х ₃=5…..

Х_п = n / (2n + 1); х₁=1/3, х ₂ =2/5, х ₃=3/7, х₄=4/9, х ₅ =5/11, х ₆=6/13… → ½

Х_п = n / (n + 1); х₁=1/2, х ₂ =2/3, х ₃=3/4, х₄=4/5, х ₅ =5/6, х ₆=6/7… → 1

Х_п = (n+1) / n; х₁=2, х ₂ =3/2, х ₃=4/3, х₄=5/4, х ₅ =6/5, х ₆=7/6… → 1

Х_п = (1+(-1)ⁿ) / n;    0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; ¼……→ 0

1+ (-1)^n-1) / n; 1+1/1; 1-1/2; 1+1/2; 1-1/4…..→ 1

_______,_____,__,__,____,____,________________,__

    1/2 3/4 5/6  1    1+1/5 1+1/3                           2

С ростом n члены последовательности стремятся к  1

Опр. Число b называется пределом числовой последовательности Х_п,, если по мере возрастания номера n,    Х_п, стремится к b

lim X_n = b

n→∞

Рассмотрим модуль разности │Х_п -1│=│1+(-1)^n-1) / n -1│=│(-1)^n-1) / n │= 1/ n

С ростом n абсолютное значение разности уменьшается.

При n = 10 абсолютное значение разности 1/n = 1/10 и начиная с 11 члена последовательности абсолютное значение разности будет < 0,1.

При n = 100 абсолютное значение разности 1/n = 1/100 и начиная с 101 члена последовательности абсолютное значение разности будет < 0,01.

Таким образом, какое бы малое положительное число έ мы не взяли, найдется такой номер последовательности (N₀), что для всех членов последовательности с N > N₀, будет выполнятся неравенство │Х_п - b│< έ,

Т.е. все члены нашей последовательности принадлежат промежутку

 (1 – έ; 1+ έ),  1- έ < Х_п, < έ + 1

Опр. Число b называется пределом числовой последовательности Х_п,, если  для всякого  έ >0 существует номер N(έ), что при всех n>N выполняется неравенство │Х_п - b│< έ

Предел функции

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при х→а, если по мере приближения х к а, f (x) приближается к А.

lim f (x) = А

х→а

Опр. Число А называется пределом функции f (x) при х→а, если для любого έ >0, существует δ >0 такое, что при 0<│х - а│< δ, выполняется неравенство

│ f (x) - b │< έ

Вычисления пределов.

Основные теоремы:

Опр. Предел постоянной величины – есть величина постоянная.

LimС = С

х→а

Если существуют f₁(x) и f₂(x), то

lim [f₁(x) ± f₂(x)]= limf₁(x) ± limf₂(x)

х→а                       х→а        х→а

lim [f₁(x)•f₂(x)]= lim f₁(x) •lim f₂(x)

х→а                       х→а           х→а

 

lim [f₁(x) ∕ f₂(x)]=   lim f₁(x) ∕ lim f₂(x)]; lim f₂(x)] # 0                        

х→а                       х→а         х→а         х→а

пример.

Найдем придел функции (4х² -1)/(2х-1)

    lim (4х² -1)/(2х-1) = (2х-1)(2х+1)/(2х-1) =13,

    х→6

функция определена в точке х=6

lim (4х² -1)/(2х-1) = (2х-1)(2х+1)/(2х-1) =2

х→1/2

Функция не определена в (.) х = ½, однако предел функции в этой точке существует и равен 2.

Предполагается, что функция определена во всех точках промежутка, содержащего точку х =а, в самой же точке функция либо определена. Либо не определена.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Опр.Функция f (x) называется бесконечно малой  (Б.М.)при х→а, если

lim f (x)= 0

х→а

пр. lim х² -4 =0 - Б.М.

    х→2

lim х² -4 =-3 не является - Б.М.

 х→1

 

Опр. Функция f (x) называется бесконечно большой, если

lim f (x)= ∞ Б.Б.

х→а

Аналогично определяются Б.М. и Б.Б. функции при х→∞.

Между Б.М. и Б.Б. функциями существует тесная связь, которая выражается следующими теоремами.

1. Функция обратная по величине бесконечно большой, является бесконечно малой величиной.

2. Функция обратная по величине бесконечно  лой. Называется бесконечно большой величиной.

3. Бесконечно малые величины обладают следующими свойствами:

1) Сумма или разность двух бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

2) Произведение Б.М. функции на функцию ограниченную Х на постоянную или Б.М. функцию есть функция бесконечно малая.

Бесконечно большие функции обладают следующими свойствами:

1). Сумма Б.Б. функции и функции ограниченной есть функция Б.Б. того же знака.

2). Сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака есть функция бесконечно большая.

 

3). Произведение Б.Б. функции на Б.Б. функцию есть функция Б.Б.

Техника вычисления пределов

Подставить значение, к которому стремиться х в функцию. Если предел вычисляется, то полученное значение и будет пределом данной функции.

Чему равен предел: Lim  

                                               _х→1

 Если предел не вычисляется, то надо применить определенную технику

 

Могут возникнуть неопределенности: ∞/∞; 0/∞; 0/0 и т.д.

 

1. Деления на максимальную степень.

 Чему равен предел: Lim

                                     х→ ∞

2. Разложение квадратного трехчлена на множители

 

Чему равен предел: Lim

                                        х→ -2

Левый и правый предел функции

Опр. Если число А₁ есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения > a, то число А₁ называется правым пределом функции.

lim f (x)= А ₁

х→а+0

аналогично:

Опр. Если число А₂ есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения < a, то число А₂ называется левым пределом функции.

lim f(x)= А₂    Если А₁ = А₂= А, то это предел функции

х→а-0

 

Примеры:В. А. Подольский № 7.46,7.47;7.48;7.51

 

Пр. Найти придел функции у = 1/(х+2) 

lim 1/(х+2) = - ∞

х→-2-0

lim 1/(х+2) = + ∞

х→-2+0

 

Найти придел функции у = х/(х-3) 

lim х/(х-3) = + ∞ lim х/(х-3) = - ∞

х→-3-0                  х→-3+0

Непрерывность и точки разрыва

1. Приращение аргумента и приращение функции

Если х₁ и х₂ –значения аргумента х, а f (x ₁) и f (x ₂) значения функции y = f (x), то ∆х= x ₂ – x ₁, называется приращением аргумента на отрезке [ x _2, x ₁ ], а величина ∆у= f (x ₂) - f (x ₁)= f (x+∆х) – f (x), ∆у – приращение функции на этом отрезке.

Пример:

Вычислить приращение аргумента и приращение функции у=х²-2х+3

а) от х₁=0 до х₂= 1;

б) от х₁=-1 до х₂=3;

а) ∆х= x₂ – x₁ =1- 0 = 1; ∆у = 1-2+3-3= -1

б) ∆х= x₂ – x₁ = 3-(-1) = 4; ∆у = 9-6+3-(1+2+3) = 0

пр. 7.175; 7.178-7.180

Первое определение непрерывности

Функция y = f (x) называется непрерывной в (.) х= а, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке, соответствует бесконечно малое приращение функции.

lim ∆у = 0

∆х→0

Второе определение непрерывности

Функция y = f (x) называется непрерывной в (.) х= а, если:

- она определена в (.) х= а, т.е существует ее значение в (.) х= а, равное f (а);

- существует конечный предел функции в этой точке, т.е. lim f (x)= А;

                                                                                                                х→а

- этот предел равен значению функции в (.) х= а, т.е.. lim f (x)= А= f (а).

                                                                                                            х→а

Примером непрерывности функции может служить любая элементарная функция. Которая непрерывна в каждой точке своей обла

ти определения.

 

Точка х=а называется точкой разрыва функции y = f (x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х= а, но в самой точке х= а не удовлетворяет условию непрерывности.

 

Точки разрыва функции делятся на два типа.

  К точкам разрыва первого рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы (левый и правый предел).

Точки разрыва первого рода делятся в свою очередь на точки. В которых разрыв устраним, когда lim f(x)= lim f(x) ≠ f(а)                                                                                  х→а-0                  х→а+0

И на точки скачка функции, когда lim f(x)  ≠  lim f(x) ≠ f(а)

                                                   х→а-0                х→а+0

 а разность f(а+0) - f(а+0) называется скачком функции в точке х= а.

 

К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

 

Пр. Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+3) 

 ООФ функция определена при х€ (-∞;-3) (-3; +∞)

Найдем левый и правый пределы

lim 1/(х+3) = - ∞

х→-3-0

lim 1/(х+3) = + ∞

х→-3+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х=-3, т.к. левый и правый пределы бесконечны.

Рис.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у =1/(1+2^1/х)

ООФ  х ≠ 0

lim 1/(1+2^1/х) = 1

х→-- 0

lim 1/(1+2^1/х) = 0

х→-+ 0

Данная функция имеет разрыв первого рода в точке х=0, так-так левый и правый придел имеют конечные значения. Имеется скачек функции.

Рис.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+5)² 

 ООФ функция определена при х€ (-∞;-5) (-5; +∞)

Найдем левый и правый пределы

lim 1/(х+5)² = + ∞

х→-5-0

lim 1/(х+5)² = + ∞

х→-5+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = -5, т.к. левый и правый пределы бесконечны.

Рис.

 

Пр. Исследовать функцию на разрыв 

      х   при х ≤ 0

    х²       при 0 < х ≤ 1

     x +1 при х >1

        

 

Найдем левые и правые приделы в точках изменения функции:

lim х²= 1  lim х+1= 2  lim х²= 0      lim х = 0  

х→1—0        х→1+ 0        х→+ 0      х→- 0 

Функция имеет разрыв 1-го рода со скачком функции в точке х =1

Рис.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у =3^1/х

ООФ х ≠ 1

Найдем левые и правые приделы

lim 3^1/х = 0  

х→- 0

lim 3^1/х = +∞  

х→+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = 0, т.к. правый предел бесконечен.

Производная и дифференциал

Понятие производной

Опр. Производной функции y = f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к 0.

у^⁄ = lim ∆у/∆х

∆х→0

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в (.) х.