Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.

Лекция 5

Тема: Числовой ряд. Ряд из членов геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости ряда. Действие над рядами. Законоположительные ряды. Признаки сравнения.

        5.1 Определение ряда. Определение сходимости ряда. Примеры.

        Определение 1. Выражение вида + =   называется рядом, , …- члены ряда, - общий член ряда.

Вначале будем изучать ряды, членами которых являются действительные числа.

Приведем примеры рядов:

    – гармонический ряд,

= + q+ +… а - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

       Определение 2. Ряд  называется сходящимся, если существует предел его частных сумм, т.е. , где - сумма первых n членов ряда s – сумма ряда. Если  не существует, то ряд называется расходящимся.

       Пример 1. Исследовать на сходимость гармонический ряд

Решение: Рассмотрим группу слагаемых

, где каждая их скобок больше .

Отсюда следует, что , т.е. предел не существует, т.к. при n число скобок в  тоже стремиться к . Гармонический ряд расходится.

     Пример 2. Исследовать на сходимость ряд из членов геометрической прогрессии , a , q

Решение: Рассмотрим частичную сумму данного ряда.

 

q

(1-q)

Если q  то = .

Рассмотрим предел частичных сумм:

=

Остается рассмотреть случай, когда q=1. В этом случае имеем ряд а+а+а….,

  , т.к. а .

Итак, ряд из членов геометрической прогрессии при  сходится и его сумма s= , а при  расходится.

      Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Данный ряд является рядом из членов геометрической прогрессии, где а= 2, q=  Так как  , то данный ряд сходится и s=

     Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
. Является рядом из членов геометрической прогрессии, где a =- 2, q= -1. Так как , то данный ряд расходится.

    5.2 Необходимый признак сходимости.

    Теорема 1. Если ряд  сходится, то предел его общего члена равен 0,

 т.е. .

    Доказательство. По условию данный ряд сходится. Это означает, что

, … = lim()= .

    Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится.

Действие над рядами.

1) Сложение рядов.

Пусть даны два ряда  Суммой двух рядов называется ряд

   Теорема 2. Если ряды   сходятся соответственно к  то ряд  сходится к .

   Доказательство. По условию ряды  сходятся, то  и

2) Умножение ряда на число.

Произведение ряда  на число  или числа  на ряд  называется ряд   (3)

     Теорема 3. Если ряд  сходится и его сумма равна s, то ряд  тоже сходится и его сумма равна .

Если  то оба ряда  и  либо одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство.

Справедливость теоремы вытекает из равенства:

    Теорема 4. Сходимость ряда не измениться если отбросить или прибавить конечное число первых членов ряда.

Доказательство. Рассмотрим два ряда:

+ +….+ + …+ +… (4)

+ +…+ +…                 (5)

Справедливость теоремы вытекает из равенства:

= + +….+ + …+ = +  ,где  является константой, не зависящей от n.

Знакоположительные ряды. Теоремы сравнения.

   Ряд  называется знакоположительным, если .

Теоремы, которые справедливы для знакоположительных рядов, справедливы для знакоотрицательных рядов, так, как умножение ряда на (-1), сходимость ряда не изменяет.

   Теорема 5:

   Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство. Дан знакоположительный ряд

, , , = + + …+ .

….. ….

Последовательность частичных сумм , неубывающая. Для того, чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

    Теорема 6:

   Пусть даны два знакоположительных ряда (1),  для которых выполняются неравенства

Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится. Если же ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

  Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из неравенства = + …+ + +… =  и теоремы 5. В самом деле, если ряд (2) сходится, то последовательность { } ограничена сверху, тогда { } ограничена сверху и ряд (1) сходится. Если ряд (1) расходится, то {  не ограничена сверху и тем более  не ограничена сверху. Следовательно, ряд (2) расходится.

   Замечание 1. Учитывая теорему 4, можно утверждать, что теорема 6 справедлива при выполнении неравенств  , .

  Чтобы применять теорему 6 при исследовании сходимости рядов, нужно иметь набор сходящихся и расходящихся рядов. Примером сходящихся рядов могут служить знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии при q , а примерами расходящихся рядов могут быть знакоположительные ряды из членов геометрической прогрессии, при 1 .

Примером расходящегося ряда может служить гармонический ряд .

Ряды Дирихле:

Ряды Дирихле мы исследуем позже с помощью интегрального признака Коши.

А сейчас отметим, что ряды Дирихле при 1<S сходятся, а при S  расходятся.

Ряд Дирихле при S=1 является гармоническим рядом.

      Пример 5: Исследовать на сходимость ряд .

Решение: 0 , . Так как ряд Дирихле  сходится, то по теореме сравнения данный ряд тоже сходится.

       Пример 6: Исследовать на сходимость ряд

Решение: <  Так как гармонический ряд расходится, то данный ряд тоже расходится.

        Теорема 7:

Пусть даны два знакоположительных ряда (1);  для которых существует предел  = c , то ряды (1) и (2) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

        Пример 7: Исследовать на сходимость ряд

Решение: так как sinx  при x то данный ряд надо сравнить с рядом Дирихле , который сходится.

Рассмотрим предел  = 1  0 в силу первого замечательного предела.

Следовательно, данный ряд сходится.