ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1) 
2) 
3) 
Вариант 2
1) 
2) 
3) 
Вариант 3
1) 
2) 
3) 
Вариант 4
1) 
2) 
3) 
Вариант 5
1) 
2) 
3) 
Вариант 6
1) 
2) 
3) 
Вариант 7
1) 
2) 
3) 
Вариант 8
1) 
2) 
3) 
Вариант 9
1) 
2) 
3) 
Вариант 10
1) 
2) 
3) 
Вариант 11
1) 
2) 
3) 
Вариант 12
1) 
2) 
3) 
Вариант 13
1) 
2) 
3) 
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексное число в алгебраической форме имеет вид а+bi (1), где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, причем i2= -1. В записи (1) bi называется мнимой частью, а – действительной частью комплексного числа. Два комплексных числа называются равными только в том случае, когда равны их мнимые и действительные части.
Для комплексных чисел вида (1) имеют место следующие операции:
а) сложение (вычитание): 
;
б) умножение: 
;
в) 
(деление возможно только в том случае, когда c+di≠0 (c2+d2≠0)).
Введенные операции обладают всеми свойствами аналогичных операций над действительными числами. Следует обратить внимание, что i2= -1, i3= -i, i4=1, i5=i, i6= -1, ….
Комплексные числа можно отождествить (изобразить) точками некоторой комплексной плоскости, в которой расположим прямоугольную систему координат OXY, причем OX назовем действительной осью и на ней будем откладывать действительную часть комплексного числа, а ось OY – мнимой осью, на ней будем откладывать мнимую часть. Комплексное число а+bi будет точкой этой плоскости.
|
 |
Кроме алгебраической формы для комплексных чисел существует еще тригонометрическая форма. Чтобы получить эту форму для числа z=a+bi, обозначим r – расстояние от начала координат до числа z (рис.1), j - угол между положительным направлением оси ОХ и отрезком OZ. Тогда, очевидно, из ∆OAZ получим, что a=rcosφ, b=rsinφ и a+bi=rcosφ+irsinφ. Форма z=r(cosφ+isinφ) называется тригонометрической формой комплексного числа, r – модулем z и записывается r=|z|, а φ – аргументом z, или φ=argz.
Для приведения комплексного числа а+bi к тригонометрической форме используют формулы cosφ= 
и sinφ= 
, из которых находят значения φ, а 
.
Пример 1. Найти тригонометрическую форму комплексного числа A. 
; Б. 5i; В. 5+3i.
Решение. А. Так как 
, то а=1, b= 
, 
. Тогда cosφ= 
; sinφ= 
. Откуда следует, что φ= 
. Окончательно получаем, что 
.
Б. Изобразим число 5i на комплексной плоскости. Очевидно, что оно расположено на оси ОY, т.е. модуль r=5, а аргумент равен 
. Записываем число 5i в тригонометрической форме 
.
В. Модуль z числа 5+3i равен 
, аргумент φ его находим из соотношений cosφ= 
, sinφ= 
по таблицам. Записываем число 5+3i в тригонометрической форме 
(cosφ+isinφ).
Сложение и вычитание комплексных чисел можно истолковать геометрически. Пусть даны числа α=a+bi, β=c+di. Соединим отвечающие им точки на комплексной плоскости с началом координат и построим на этих отрезках, как на сторонах, параллелограмм. Четвертой вершиной этого параллелограмма будет точка, которая отвечает числу α+β (рис.2).
|
|
Таким образом, сложение комплексных чисел геометрически выполняется по правилу сложения векторов, выходящих из начала координат, модуль суммы векторов α и β равен длине диагонали ОС параллелограмма АОВС.
Вычитание комплексных чисел можно заменить сложением α-β=α+(-β), поэтому геометрически разность векторов можно описать так. На комплексной плоскости отмечаем точки А, В, Д, соответствующие числам α, β и –β. Складываем числа α и –β, т.е. строим параллелограмм АОДК (рис.3). Точка К, четвертая вершинпараллелограмма отвечает числу α-β.
| |
|
Действия умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня удобно производить, когда эти числа заданы в тригонометрической форме следующим образом:
1. [r(cosφ+isinφ)][R(cosψ+isinψ)]=rR(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ));
2. 
;
3. [r(cosφ+isinφ)]n=rn(cosnφ+isinnφ);
4. 
k=0,1,…,n-1.
Пример 3. Найти 
.
Решение. Запишем число в тригонометрической форме
. Применим формулу Муавра
Пример 4. Найти 
.
Решение. Запишем число i в тригонометрической форме 
. Применяем формулу
Записываем значения корня последовательно для k=0,1,2:
Пример 5. Найти геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющих неравенству: А. │z│≤5, Б. 
≤π,
В. │z–3i│>2.
Решение.
А. Так как модуль комплексного числа есть расстояние от начала координат до точки, изображающей его, то точки, изображающие комплексные числа с условием │z│≤5, составляют круг радиуса 5 с центром в начале координат. Точки окружности также принадлежат этой области.
Б. Так как аргумент комплексного числа – это угол, составленный положительным направлением оси ОХ и отрезком, соединяющим начало координат с точкой, изображающей его, то геометрическое место точек, изображающих числа z, удовлетворяющее соотношению ≤π, есть множество точек второго координатного угла. Точки оси ОХ входят, а точки оси ОY не входят в эту область.
В. Из геометрического смысла вычитания следует, что такие точки составляют внешнюю часть окружности радиуса 2 с центром в точке А, отвечающей числу 3i. Точки окружности в эту область не входят (рис.4).
|
. Из равенства a+bi=(u+vi)2 следует 
. Из этой системы уравнений нам надо найти u, v. Возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим, получаем (u2–v2)2+4u2v2=a2+b2, откуда 
. Учитывая, что u2–v2=a, находим 
. Тогда 
. Полученные значения u, v нельзя комбинировать между собой произвольным образом, так как знак произведения uv должен совпадать со знаком числа b. Это дает две возможные комбинации u, v, т.е. два числа вида u+iv, которые являются значениями квадратного корня из числа a+bi. Эти числа отличаются друг от друга знаком.Пример 6. Найти 
.
Решение. Обозначим 
. Для вычисления u и v применяем формулы
.
Знаки u и v должны быть различными, так как b= -20<0, поэтому 
.
Пример 7. Решить уравнение x2– (2+i)x+(–1+7i)=0.
Решение. По формуле корней квадратного уравнения 
, или 
. Извлечение квадратного корня производим как и в предыдущем примере: 
.
Таким образом, 
, поэтому, 
Ответ: x1= -1+2i; x2=3-i.
ВАРИАНТЫ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–i|>1; 2) |z–i+3|≤3.
3. Решить уравнение x2– (2+i)x+(–1–5i)=0.
Вариант 2
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2+3i|≤3; 2) |z+i|>4.
3. Решить уравнение x2+(2+2i)x+3–2i=0.
Вариант 3
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2+i|≤2; 2) |z+i|=2.
3. Решить квадратное уравнение x2+(–1+3i)x–2i–2=0.
Вариант 4
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i|>3; 2) |z–1–2i|≤1.
3. Решить уравнение x2+(i–1)x+6+2i=0.
Вариант 5
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i–3|>2; 2) |z–3i|≤3.
3. Решить уравнение x2+(3+4i)x+5+15i=0.
Вариант 6
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–2i–3|>2; 2) |z+3i|≤1.
3. Решить уравнение x2– (2i+1)x+8+4i=0.
Вариант 7
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+1+2i|≥1; 2) |z–3i|<3.
3. Решить уравнение x2+(–2+3i)x–3i–1=0.
Вариант 8
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+2i|≤1; 2) |z+1+i|>3.
3. Решить уравнение x2–х(i–2)+12–8i=0.
Вариант 9
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+4+2i|>1; 2) |z–5i|≤3.
3. Решить уравнение x2+(–2+3i)x–3i–1=0.
Вариант 10
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–1+3i|≤2; 2) |z+2i|>2.
3. Решить уравнение x2–х(2i–5)+3–15i=0.
Вариант 11
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z–i+2|≤1; 2) |z–4i|>1.
3. Решить уравнение x2+5x+7–i=0.
Вариант 12
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+i+2|≤1; 2) |z+3i|>3.
3. Решить уравнение x2– (5+4i)x+3+11i=0.
Вариант 13
1. Вычислить: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Описать геометрическое место комплексных чисел, удовлетворяющих неравенствам: 1) |z+i+2|≥3; 2) |z–i+1|<1.
3. Решить уравнение x2– (4+i)x–8i+6=0.
