Алгоритм подсчета критерия U Манна – Уитни.

Задание 1. Выборка, её числовые характеристики

 

 Дан закон распределения частот для дискретной случайной величины  в виде следующей таблицы

 

	1	2	4	7
	1	3	6	2

 

Требуется найти: 1) эмпирическую функцию распределения; 2) полигон частот; 3) выборочную среднюю; 4) выборочную дисперсию; 5) исправ-ленную дисперсию.

Решение.

 1) Объем выборки равен сумме частот: . Эмпирическая функция , где – суммарное число выборочных значений тех частот, аргументы которых удовлетворяет неравенству . Поэтому функция  равна: 

 а) ;   б) ;  в) ;  г) ;     

 д) .

        

                   Рис.1 Эмпирическая функция распределения .

2) Построим полигон частот по данному распределению выборки в виде ломаной линии

 

                                  Рис. 2. Полигон частот

 

3) Найдем теперь выборочное среднее  по следующей формуле  

                                     .

В данном случае число групп данных , поэтому выборочное среднее равно

                                   .

 4) Найдем теперь выборочную дисперсию по следующей формуле

                                 .

 Для упрощения вида числовых выкладок приближенно считаем, что , поэтому      

    .     

5) Найдем теперь исправленную дисперсию по следующей формуле

                                 .

Выводим для , что она равна

    .

Задание 2. Линейная корреляция

Дано корреляционное поле в виде таблицы

                 

                                   

 

Вычислить коэффициент корреляции. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, построить корреляционное поле и нанести на него линию прямой регрессии Y на X.

 

Решение. Определим выборочные средние значения для каждой случайной величины

                , .

Найдем теперь значения исправленных выборочных дисперсий для каждой случайной величины            

              ,

              .

Исправленная эмпирическая ковариация и коэффициент корреляции равны величинам

                       .

Эмпирический коэффициент регрессии Y на X находится по формуле

                        .

Уравнение прямой регрессии Y на X записывается в следующем виде

                .

        Рис.2. Корреляционное поле и линия регрессии Y на X.

Задание 3. Статистическая проверка статистических гипотез

 

Приведено эмпирическое распределение дискретной случайной величины  в виде таблицы. Случайная величина имеет смысл числа отказов. Частоты наблюдений отказов обозначены . Используя критерий , проверить на уровне значимости   гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. 

 

Решение. Дана таблица

 

 

Найдем объем выборки  по формуле

                                    .

Число  описывает число групп данных, приведенных в таблице наблюдений.

Вычислим оценку параметра распределения  в законе для редких событий Пуассона

            .

Формула Пуассона закона распределения вероятностей имеет следующий вид  

                                ,

где  – число появлений заданного события, в нашем примере это число отказов.

Проведем расчеты вероятностей

                    

              .

Найдем теоретические частоты , применяя расчетную формулу

                            ,

в которой величина  означает номер группы данных в таблице отказов. Подставим теоретические частоты в таблицу расчета эмпирического критерия Пирсона

 

 

Эмпирический критерий находится путем суммирования данных, размещенных в последнем столбце таблицы расчета критерия Пирсона

                                           ,

где – общее число значимых групп данных.

Воспользуемся таблицами теоретического распределения, которое является функцией двух переменных (  – уровня значимости и числа степеней свободы )

                         

Поскольку выполнено неравенство

           ,

то статистическую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по закону редких событий Пуассона следует отвергнуть. При этом риск отвергнуть правильную гипотезу равен уровню значимости, т.е. в примере этот риск равен пяти процентам.

 

Задание 4. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения

 

Найти с надежностью  доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания  для нормально распределенного признака , если даны значения: генеральное среднее квадратичное отклонение ; выборочное среднее ; объем выборки .    

Решение. Неизвестное математическое ожидание находится в интервале                 .

Последняя в записи формула обозначает уравнение относительно t, содержащее функцию Лапласа :

                 ,

Применяя таблицы функции Лапласа, находим неизвестное значение параметра . Определим величину                                 

                                  .

Найдем доверительный интервал

                   .

Доверительный интервал  покрывает математическое ожидание для нормально распределенной случайной величины с заданной величиной надежности , которая называется также доверительной вероятностью. В данной задаче доверительная вероятность равна 0,99 или 99%.

 

Задание 5

Решим задачу со следующими данными: n=32, n1=6, n₂= 6, n₃= 16 и n₄= 4.

 Отнесем к 1-му разряду тех студентов, которые получили 5 баллов (6 человек), ко 2-му разряду – 4 балла (6 человек), к 3-му – 3 балла (16 человек) и к 4-му – тех, кто получил 2 балла (4 человека). Если бы в каждом разряде было одинаковое количество студентов, то распределение оценок было бы равномерным. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, статистически достоверно отличается от равномерного распределения.

    Вычислим теоретическую частоту по формуле: f_теор = n/k, где n– количество наблюдений, k – количество разрядов. В нашем случае: f_теор = 32/4 = 8. Сравним с этой частотой все эмпирические частоты. Составим таблицу и все вычисления выполним в ней.

Таблица

Разряды (количество баллов)	Эмпирические частоты fj	Теоретическая частота fт	fj – fт	(fj – fт)2	(fj – fт)2/fт
1 (5 баллов) 2 (4 балла) 3 (3 балла) 4 (2 балла)	6 6 16 4	8 8 8 8	-2 -2 8 -4	4 4 64 16	0.5 0.5 8 2
Суммы	32	32	0		11

Вычислим число степеней свободы n = к-1 = 4-1 = 3. Найдем по таблице критические значения: c²_кр = 7.815 для a = 0.05, c²_кр = 11.345 для a = 0.01. В соответствии с правилом принятия решения гипотезу Н₀ следует отвергнуть. Распределение полученных оценок отличается от равномерного, но так как c²_эмп < 11.345, статистически достоверно утверждать, что перед нами – группа «троечников» мы не можем.

Задание 6.

В таблице (ниже) представлены значения вербального интеллекта, полученные у студентов-физиков и студентов-психологов. Превосходят ли студенты-психологи студентов-физиков по уровню вербального интеллекта? 

Алгоритм подсчета критерия U Манна – Уитни.

1. Представить все данные испытуемых из двух выборок объемами n₁ и n₂   в порядке возрастания (убывания).

2. Проранжировать все значения, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся.

3.Подсчитать сумму рангов отдельно для каждого ряда. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

4. Определить большую из двух ранговых сумм.

    5. Вычислить значение U _эмп по формуле: U _эмп = n₁ n₂ + n_x (n_x  + 1)/2 – T_x, где n_x – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов, T_x – большая из двух ранговых сумм.

6. Определить критические значения U _0.05 по таблице. Если U _эмп > U _0.05, то гипотеза H₀ принимается. Если U _эмп ³ U _0.05, то гипотеза H₀ отвергается.

Теперь вернемся к поставленной задаче.

Таблица

Значения вербального интеллекта в выборках студентов физического и психологического факультетов

 

Студенты – физики