Упражнения для самостоятельной работы

Правило Лопиталя

  Теорема. Пусть функции  и :

1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки  ( - число или ), за исключением, может быть, самой точки   2) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при  3) в указанной окрестности. Если существует конечный предел  (  конечное либо ), то существует и

Данное утверждение справедливо и для одностороннего предела, когда  либо

Пример 1. Найти

Имеем неопределённость вида , условия теоремы выполнены. Поэтому согласно правилу Лопиталя получим:

Пример 2. Найти

Раскроем неопределённость вида  по правилу Лопиталя:

Иногда правило Лопиталя приходится применять последовательно несколько раз, чтобы избавиться от неопределённости.

Пример 3. Найти

Для неопределённости  по теореме Лопиталя получим:

Применяя теорему Лопиталя, можно использовать известные асимптотические равенства, поскольку это иногда существенно упрощает выкладки.

Пример 4. Найти   

Учитывая, что при  будем иметь:

Пример 5. Найти

Применяя к неопределённости вида  правило Лопиталя последовательно два раза, получим:

 

В примерах 6-9 требуется раскрыть неопределённость вида     

Пример 6. Найти

Используя эквивалентность  при  и теорему Лопиталя, получим:

Пример 7. Найти

Применяя правило Лопиталя два раза, будем иметь:

Пример 8. Найти

Для такое, что  а тогда   Покажем, что для ,  применив правило Лопиталя   раз:

Согласно принципу двустороннего ограничения:

для

Пример 9. Найти

По теореме о пределе произведения получим:

а к пределу  применим правило Лопиталя:

Тогда

Для раскрытия неопределённости вида  необходимо сначала преобразовать выражение, чтобы получить неопределённость  или .

Пример 10. Найти

C помощью элементарных преобразований сведём неопределённость вида  к неопределённости , воспользуемся асимптотическим равенством   при  и применим правило Лопиталя:

Пример 11. Найти

Преобразуем данную функцию:

Рассмотрим  и применим правило Лопиталя последовательно два раза:

Следовательно,

а тогда

В примерах 12-14 требуется раскрыть неопределённость вида

Пример 12. Найти

Сведя неопределённость  к неопределённости , применим правило Лопиталя последовательно два раза:

 

Пример 13. Найти

Пример 14. Найти

Сделаем замену переменной   если  то  Тогда .

Применяя к полученному пределу правило Лопиталя, будем иметь:

В примерах 15-20 для раскрытия неопределённостей вида  и  воспользуемся логарифмическим тождеством  и сведём вычисление предела к раскрытию неопределённости  

Пример 15. Найти

Применяя логарифмическое тождество, придём к вычислению следующего предела:

 для которого после двукратного применения правила Лопиталя получим:

Тогда

Пример 16. Найти

C помощью логарифмического тождества преобразуем неопределённость   к неопределённости вида , к которой применим затем правило Лопиталя и следствие из 2-го замечательного предела:

Тогда

Пример 17. Найти

С использованием результата примера 13 получим:

Пример 18. Найти

Полагая  получим:

Так как  и  при  то согласно примеру 13 будем иметь:

Пример 19. Найти

   Согласно правилу Лопиталя:

Следовательно,

Пример 20. Найти

  Тогда по правилу Лопиталя и с использованием примера 8 будем иметь:

.

Поэтому

Пример 21. Найти

Пусть сначала  Если  то функции  и   есть бесконечно малые при  а следовательно,  Если же    а  - любое, то  откуда следует, что:

 , а  (пример 8). Согласно принципу двустороннего ограничения . Итак, доказано: при  и

Пусть теперь  Так как по доказанному выше  то обратная величина является бесконечно большой при  для

Если же  то имеем:  Сделаем замену  будем иметь:   Тогда:

1)  при  и  и при  и

2)  при  и  и при  и

3)  если

Окончательно, предел равен нулю, если  () либо  (  или );

предел равен  если  () либо  (  или ); предел равен 1, если   

Применение правила Лопиталя не всегда возможно, поэтому надо внимательно следить за выполнением условий теоремы.

Пример 22. Объяснить, почему следующие пределы не могут быть найдены по правилу Лопиталя и найти их, если они существуют: 1) ; 2) .

Правило Лопиталя в обоих случаях неприменимо, так как предел отношения производных не существует, однако с использованием леммы о бесконечно малых легко получить, что 1) ;

2) .

Пример 23. Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующему пределу: .

Условия теоремы не выполнены, ибо производные   и  обращаются в нуль одновременно в любой окрестности точки , если , поэтому правило Лопиталя использовать нельзя. Отметим, что данный предел не существует, что легко получить по определению Гейне:

, если , то и ; при этом , а   при .

Упражнения для самостоятельной работы

Определить значения следующих выражений:

1.   2.   3.

4.   5.   6.

7.   8.  

 9.   10.

11.   12.

13.  14.   15.

16.   17.   18.

19.   20.

21.   22.

23.   24.

25.  26.

27.   28.

29.   30.   31.

32.   33.   34.   35.

36.   37.   38.

39.   40.   41.  

42.   43.

44.   45.   46.

47.  

48.   49.   

50.   51.   52.

53.

54.

55.   56.

57.   58.   

59. Показать, что следующие пределы не могут быть вычислены по правилу Лопиталя, и найти эти пределы:

1) ; 2)  

60. Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующему пределу: .

 

Формула Тейлора

 Локальная формула Тейлора или формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть функция , определённая в окрестности точки , имеет в этой окрестности производные до -го порядка включительно, а в точке  существует . Тогда справедливо следующее представление:

Многочлен   называется многочленом Тейлора функции  в точке , а функция   - -тым остаточным членом.

Формула Тейлора на промежутке.

Если на отрезке с концами  и  функция  непрерывна вместе со своими производными до -го порядка включительно, а во внутренних точках она имеет -ю производную, то какова бы ни была функция  непрерывная на данном отрезке и имеющая отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдётся точка  лежащая между  и  и такая, что

Если при выполненных условиях теоремы

1)  - произвольно, то остаточный член в формуле Тейлора представим в виде Шлемильха-Роша: 

2)   то остаточный член в формуле Тейлора представим в форме Лагранжа:

3)   то остаточный член в формуле Тейлора представим в форме Коши:

Если  то формула Тейлора принимает вид:

и называется формулой Маклорена.

Справедливы пять важных разложений:

1.

2.

3.

4.

5.

В примерах 1-14 разложить функцию   по формуле Маклорена до

   Пример 1.

Пользуясь разложением 1, получим:

Пример 2.

Так как   т.е.   то разложение по формуле Тейлора будет иметь следующий вид:

Пример 3.

Учитывая, что  и используя разложение 1, получим:

Пример 4.

Так как   то с использованием разложения 5 будем иметь:

Пример 5.

Из разложения 4 следует:

Поэтому

Пример 6.

Преобразовав подкоренное выражение, используем затем разложение 5:

где 

Пример 7.

После преобразований применим разложение 4:

Учитывая, что  и , будем иметь:

Пример 8.

   Разделив числитель на знаменатель, представим  в виде: 

        

Тогда

Пример 9.

Так как

 то используя разложение 2, будем иметь:

 

Пример 10.

Учитывая, что   а 

 

получим:

Пример 11.

Используя формулу   преобразуем функцию:

Применяя разложение 3, будем иметь:

Пример 12.

Преобразуя функцию с помощью формул понижения степени   получим:   откуда с использованием разложения 3 будем иметь:

Пример 13.

Представим  в виде суммы дробей:

Пример 14.

Преобразуем функцию:

Воспользуемся разложением 5, введя для краткости следующее общепринятое обозначение:

  тогда    Следовательно,

 

Заменяя переменную   окончательно получим:

Если функция   имеет вид:   и известны разложения функций   и   по формуле Тейлора в окрестности точки   до

 причём   то для нахождения разложения функции  применим метод неопределённых коэффициентов. Пусть искомое разложение имеет вид:

 тогда, так как   или

 то приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях  в правой и левой частях, получим систему алгебраических уравнений для определения

Пример 15. Применяя метод неопределённых коэффициентов, разложить по формуле Маклорена функцию   до

Учитывая, что функция   нечётная и  т.е.   будем иметь:

Применяя разложения 2 и 3 и формулу   получим:

Приравнивая коэффициенты при  и  находим:

Итак,

Если   - сложная функция и известны разложения функций  и   по формуле Тейлора:

то для нахождения коэффициентов разложения

нужно в формулу   подставить   заменить её разложением   и произвести арифметические действия, сохраняя лишь члены вида   где

Пример 16. Разложить по формуле Маклорена до   функцию

   Используя разложения 2 и 4, получим:

Для   имеем:   поэтому, оставляя лишь члены вида  , будем иметь:

Если требуется разложить функцию   по формуле Тейлора в окрестности точки   то, сделав замену   мы получим функцию   которую необходимо разложить по формуле Маклорена.

Пример 17. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки   функцию   до

Пусть   тогда    и

 

Пример 18. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки   функцию   до

Пусть

тогда 

откуда следует:

Пример 19. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки   до  функцию

Обозначим  тогда

и

Используя разложение 5, получим:

, откуда

Если известно разложение по формуле Тейлора в окрестности точки   до   производной  функции  

где   то существует   и функцию   можно представить в виде:

где    Но   поэтому   Следовательно,

,                 

- коэффициенты разложения по формуле Тейлора для функции

Пример 20. Разложить по формуле Маклорена до   функций: 1)    2)   

 3)

1)  и используя разложение 5, получим:

Согласно формуле   будем иметь:

2)    (легко получить с использованием формулы для геометрической прогрессии). Тогда по формуле  можно записать:

3)

откуда по формуле   находим:

Пример 21. Разложить по формуле Маклорена до   функцию   Число   выбрать наибольшим.

Рассмотрим функцию

Найдём её производные. При   

При  по определению производной находим:

Таким образом, первая производная существует при всех  причём   Аналогично для второй производной получаем:    

т.е. вторая производная существует при всех  и равна   Для третьей производной имеем:

 Следовательно,   Так как функция  не дифференцируема в точке  то рассматриваемая функция   не имеет в точке  четвёртой производной (и производных порядка выше четвёртого), а обладает в этой точке производными до третьего порядка включительно. Поэтому разложение по формуле Маклорена до  при   выглядит следующим образом: 

  а разложение   по формуле Маклорена до   не существует. Итак,

Возвращаясь к функции   и используя разложение 2 для   будем иметь:

поэтому

так как

Пример 22. Оценить с помощью формулы Тейлора абсолютную погрешность приближённой формулы:

По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: 

где

Пример 23. Написать многочлен Тейлора порядка   и оценить разность этого многочлена и функции на указанном отрезке, принимая в качестве  середину этого отрезка:   на

По условию   Находим производные функции: