I и II замечательные пределы.

Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах

Понятие предела функции

Пусть у=f(х) − функция с областью определения Х, причем а− некоторое число.

Число b называется пределом функции f(х) в предельной точке а, если значения функции неограниченно приближаются к число b, при всех значениях х, достаточно близких к а. Предел функции в точке а обозначается

Если область определении X функции f(х) содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения х, то в этом случае можно рассматривать предел функции на бесконечности.

Число b называетсяпределом функцииf(х)при х→+∞ если для любой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b:

Таким образом, число b называетсяпределом функции f(х) при х→∞, если значения функции неограниченно приближаются к числу b (то есть ), когда аргумент х, изменяясь, принимает сколь угодно большие по абсолютной величине значения.

Свойства предела функции

1. Функция при имеет единственный предел.

2. С=С, С – постоянная величина

3. С f(x)=С f(x)

4. =∞, если f(x)=0

5. =0, если f(x)=∞

Если пределы функций у=f(x) и y=g(x) существуют, то

6. [f(x)+g(x)]= f(x)+ g(x)

7. [f(x)∙g(x)]= f(x)∙ g(x)

8. = , если g(x)≠0

9. [f(x)]^g(x)=[ f(x)]^limg(x)

10. =0, если f(x)=0, g(x)≠0

Функция у=f(x) называется бесконечно малой при х→а,

если f(x)=0.

Функция у=f(x) называется бесконечно большой при х→а, если f(x)=∞.

Пример 1.Вычислить предел: lim (2x³-4x²+5)

^x^→2

Решение.lim (2x³-4x²+5)=2 ∙2³-4∙ 2²+5=5

^x ^→2

Пример 2. Вычислить предел:

Решение.Предел знаменателя равен нулю: (2х-6)=2∙3-6=0, поэтому теорему о пределе частного применить нельзя. Т.к. (2х-6)=0, то 2х-6 при х→2 величина бесконечно малая, тогда бесконечно большая. Поэтому при х→2 величина бесконечно малая, т.е. =0

Если при подстановке в функцию предельного значения аргумента в функцию получится неопределенность вида , , 0∙∞, ∞−∞, 0⁰, ∞⁰, 1⁰, то используются специальные приёмы, которые называют раскрытием неопределённость.

Неопределенность

1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.

2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

Неопределенность

1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо предварительно сократить дробь (разложив на множители по формуле или

2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения и сократить дробь. [2]

Пример 3.Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подстановке получается неопределённость .

Для раскрытия неопределённости необходимо предварительно сократить дробь (разложив на множители)

= = = =-

Пример 4. Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подстановке получается неопределённость .

Для раскрытия неопределённости необходимо, предварительно решить квадратное уравнение и разложить на множители квадратный трёхчлен ах²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

= = = =

Пример 5.Вычислить предел:

Решение. При непосредственной подстановке получается неопределенность , поэтому вынесем за скобку степень с наивысшем показателем, сократим их в числителе и знаменателе.

Пример 6. Найти

Решение. Предел знаменателя равен 0, предел числителя также равен 0. Получим неопределенность вида к тому же под знаком предела имеем иррациональность. В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо тождественно преобразовать заданное под знаком предела выражение, умножая числитель и знаменатель на сопряженный сомножитель, упростить дробь и перейти к пределу:

I и II замечательные пределы.