Графическое изображение вариационных рядов

Для наглядности статистические ряды представляют графиками, наиболее распространёнными являются полигон и гистограмма. Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Покажем построение этих графиков на примере.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы значений случайной величины , на каждом из которых строим прямоугольник, высота которого равна соответствующей частоте интервала . Если на гистограмме частот соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частот (рис. 1). По гистограмме приближённо определим моду (см. подраздел 5.1).

Замечание: в теории вероятностей гистограмме и полигону относительных частот  соответствует график функции плотности распределения. По виду полигона делают первоначальное предположение о законе распределения исследуемой случайной величины.

Рисунок 1. – Графическое изображение вариационного ряда.

4. Эмпирическая функция распределения

Пусть известен статистический ряд количественного признака X. Введем обозначения:  – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше  (накопленная частота); n – объем выборки; – относительная частота события  (относительная накопленная частота).

Эмпирической функцией распределения называют функцию , равную относительной накопленной частоте события :

.

В отличии эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию  распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Теоретическая функция распределения определяет вероятность события : , эмпирическая – относительную частоту этого события. Вследствие закона больших чисел (теорема Бернулли) относительная частота события , т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события, т.е. к .  обладает всеми свойствами , а именно:

1) ;

2)  – неубывающая функция;

3) =0 при , – наименьшая варианта;

4) =1 при ,  – наибольшая варианта.

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. В столбец «Накопленная частота» таблицы 2 запишем значения, полученные по формуле:

Таблица 2.

Интервалы	Середина интервала	Частота	Накопленная частота	Относительная накопленная частота
[6,75; 7,18)	6,97	3	3	0,03
[7,18; 7,61)	7,40	6	9	0,09
[7,61; 8,04)	7,83	2	11	0,11
[8,04; 8,47)	8,26	14	25	0,25
[8,47; 8,9)	8,69	14	39	0,39
[8,9; 9,33)	9,12	24	63	0,63
[9,33; 9,76)	9,55	14	77	0,77
[9,76; 10,19)	9,98	12	89	0,89
[10,19; 10,62)	10,41	9	98	0,98
[10,62; 11,05)	10,84	2	100	1,00

Рисунок 2. – График эмпирической функции распределения.

Для построения графика эмпирической функции распределения (кумуляты) на оси абсцисс откладывают интервалы, на оси ординат – относительные накопленные частоты, соответствующие правым границам интервала.  на левой границе первого интервала равна нулю. Кумулята представляет собой ломанную линию (рис. 2). По кумуляте приближённо определим значение медианы (см. подраздел 5.1).