Дополнительная тема. Уравнения Максвелла для стационарных электрического и магнитного полей

В случае стационарных (то есть неменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, происхождение которых связано с покоящимися зарядами для электрического поля и со стационарными токами для магнитного поля, эти поля являются независимыми друг от друга, что позволяет рассматривать их отдельно друг от друга.

Уравнения Максвелла – это система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла для стационарных полей:

I.  ;  II.  ;

 III. ;     IV.  .

Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.

I.  , то есть циркуляция вектора напряженности  электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L равна нулю.

Циркуляцией вектора напряженности  электростатического поля  по произвольному замкнутому контуру   L  называется интеграл

 .

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности  по произвольному замкнутому контуру L, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элемента рассчитать величину  (a – угол между векторами  и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности  по произвольному замкнутому контуру L может быть легко получена из формулы работы, совершаемой силами электростатического поля при перемещении пробного заряда q ₀по произвольному замкнутому контуру L.

С одной стороны, эта работа равна:

 ,

а с учетом того, что   эта работа равна:  .

С другой стороны, эта работа равна нулю, что следует из формулы работы:

, так как для замкнутого контура .

Тогда и циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру L тоже равна нулю, то есть:              .

Величина , где a – угол между векторами  и  может быть записана в виде скалярного произведения векторов  и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора  примет вид:

 .

II.  , то есть поток вектора смещения  электростатического поля через произ­вольную замкнутую поверхность S  равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов q (q – заряд, являющийся источником   электростатического поля).

Вектор электрического смещения  определяется следующим образом:   

.

Вектор электрического смещения  введен для характеристики электростатического поля, так как модуль вектора , в отличие от модуля вектора напряженности , не изменяется при переходе из одной диэлектрической среды в другую.           

Используя то, что в вакууме  , теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть записана следующим образом:          

 ,   

то есть поток вектора смещения  электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов.

III.  , то есть циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов I, охватываемых этим контуром L  (I – стационарный ток, являющийся источником   постоянного магнитногополя). 

Уравнение III для ц иркуляции вектора напряженности   магнитного поля следует из теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции .

Циркуляцией вектора магнитной индукции  по произвольному замкнутому контуру L называется интеграл:  .

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора магнитной индукции  по произвольному замкнутому контуру L необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур L на элементы , для каждого элемента рассчитать величину  (a – угол между векторами  и ), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако согласно теореме о циркуляцию вектора   циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру L равна произведению магнитной постоянной m ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром L:

 , где

n – число проводников с токами, охватываемых контуром L. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему, а отрицательным – ток противоположного направления.

Величина , где a – угол между векторами  и  может быть записана в виде скалярного произведения векторов  и , то есть, как , а полученное соотношение для циркуляции вектора  примет вид:

 .

Магнитное поле претерпевает изменения при переходе из одного вещества в другое, что определяется магнитными свойствами вещества, которые характеризуются величиной   магнитной проницае­мости среды (m). Поэтому, кроме вектора индукции  магнитного поля, учитывающего магнитные свойства вещества, для описания магнитного поля введен также и вектор напряженности   магнитного поля, причем для однород­ной изотропной среды вектор магнитной индукции  связан с вектором напряженности :

,

где m ₀ – магнитная постоянная, m – магнитная проницае­мость среды. 

Поскольку для вакуума m = 1, то с учетом приведенного соотношения может быть получена циркуляция вектора напряженности   по произвольному замкнутому контуру L в следующем виде:

 ,

то есть циркуляция вектора   по произвольному замкнутому контуру L  равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром L.

IV.  , то есть поток вектора индукции  магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю (теорема Гаусса).

Векторные характеристики электростатического поля  и , используемые в уравнениях Максвелла, связаны между собой следующим соотношением:

 ,

где  – электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.

Векторные характеристики магнитного поля  и , используемые в уравнениях Максвелла, связаны между собой следующим соотношением:

,

где  –  магнитная постоянная,  – магнитная проницаемость среды.