ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное) Критические точки распределения Стьюдента

Лабораторная работа № 2

ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Цель работы: ознакомиться с методикой проведения проверки параметрических гипотез.

Задание: По выборке из лабораторной работы № 1 и заданному значению математического ожидания провести проверку гипотезы Н₀ о равенстве математического ожидания заданному значению против предложенного вида альтернативной гипотезы Н_а:

Н ₀: = ;

Н_а: ≠ .

 

В данном случае критерием для проверки нулевой гипотезы является случайная величина

 

(2.1)

 

Доказано, что если гипотеза Н₀ верна, то с.в. t имеет распределение Стьюдента с ν = n – 1 степенями свободы.

Алгоритм проверки гипотезы Н₀ следующий:

 

• по формуле (2.1) вычисляется значение критерия t;

 

• в таблице (Приложение А) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ν = n – 1 находят критическую точку распределения Стьюдента;

 

• если

 

– < t < ,

 

то считается, что нет оснований для отклонения гипотезы Н₀.

 

Если же

 

t ≤ – или t ≥ ,

 

то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной.

Пример выполнения лабораторной работы

 

При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, характеризующей стоимость строительно-монтажных работ на участке, у.е.. В результате расчетов в Лабораторной работе № 1 подсчитано, что выборочное среднее значение равно , а выборочное среднее квадратическое отклонение этого параметра .

Можно ли на основании имеющихся данных утверждать, что стоимость строительно-монтажных работ на участке, у.е в среднем составляет ?

 

Решение.

Требуется на заданном уровне значимости α проверить гипотезу Н₀ при альтернативе Н_а:

 

Н₀: = ;

Н_а: ≠ .

 

 

Вычислим значение критерия t по формуле (3.1)

 

 

В таблице Г.3 найдем критическую точку распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы , t(0,025; 49) = 2,0095. Поскольку выполняется неравенство , т.е. , то имеющиеся статистические данные не дают основания для отклонения нулевой гипотезы.

То есть можно считать, что стоимость строительно-монтажных работ на участке в среднем составляет 127 у.е.

Задание на выполнение работы

 

Решить задачу по варианту. Решение должно быть выполнено по алгоритму:

• сформулировать случайную величину (величины), которая будет исследоваться в задаче;

• указать, подчиняется ли исследуемая случайная величина (величины) нормальному закону распределения;

• записать (найти) оценки параметров исследуемой случайной величины (величин);

• сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы;

• записать формулу для вычисления статистического критерия, который будет использоваться для проверки выдвинутой нулевой гипотезы;

• выполнить необходимые вычисления и сделать вывод о принятии или отклонении нулевой гипотезы;

• ответить на вопрос, сформулированный в задаче.

Распределение вариантов заданий

Первая буква фамилии студента	Вес железобетонных перекрытий кг/м кв А-Д	Длина плиты перекрытия, м Е-Л	Время установки окон ПВХ, час. М-Т	Стоимость строительно-монтажных работ на участке, млрд р. У-Я
Задача		30,5	4,2	70,4

 

Порядок выполнения работы

1 Изучить теоретические сведения.

2 Записать на диск выборку случайной величины, которую требуется исследовать.

3 По этой выборке и заданному значению математического ожидания провести проверку гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению против предложенного вида альтернативной гипотезы:

– вручную рассчитать значение выборочной статистики и сравнить его с критическим значением;

– с помощь процедуры «One-Sample Analysis» пакета Statgrafics.

5 Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1 Что называется статистической гипотезой?

2 Дайте определение параметрической и непараметрической статистических гипотез.

3 Что такое нулевая и альтернативная гипотезы?

4 Что называется статистическим критерием?

5 Что называется уровнем значимости статистического критерия?

6 Что называется областью допустимых значений статистического критерия?

7 Сформулируйте правило принятия решения на основании выборочного значения статистического критерия.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное) Критические точки распределения Стьюдента

Степени свободы n	Уровень значимости a (односторонняя критическая область)
0.2	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001	0.0005
	1.376	3.078	6.314	12.706	31.821	63.656	318.29	636.58
	1.061	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	22.328	31.600
	0.978	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	10.214	12.924
	0.941	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173	8.610
	0.920	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	5.894	6.869
	0.906	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208	5.959
	0.896	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785	5.408
	0.889	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	4.501	5.041
	0.883	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	4.297	4.781
	0.879	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144	4.587
	0.876	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025	4.437
	0.873	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.930	4.318
	0.870	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.852	4.221
	0.868	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787	4.140
	0.866	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733	4.073
	0.865	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.686	4.015
	0.863	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.646	3.965
	0.862	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.610	3.922
	0.861	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.579	3.883
	0.860	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.552	3.850
	0.859	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.527	3.819
	0.858	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.505	3.792
	0.858	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.485	3.768
	0.857	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.467	3.745
	0.856	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.450	3.725
	0.856	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.435	3.707
	0.855	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.421	3.689
	0.855	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.408	3.674
	0.854	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.396	3.660
	0.854	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.385	3.646
	0.851	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	3.307	3.551
	0.849	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	3.261	3.496
	0.848	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	3.232	3.460
	0.847	1.294	1.667	1.994	2.381	2.648	3.211	3.435
	0.846	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	3.195	3.416
	0.846	1.291	1.662	1.987	2.368	2.632	3.183	3.402
	0.845	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	3.174	3.390
	0.844	1.287	1.655	1.976	2.351	2.609	3.145	3.357
	0.843	1.286	1.653	1.972	2.345	2.601	3.131	3.340
	0.842	1.283	1.648	1.965	2.334	2.586	3.107	3.310
¥	0.842	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090	3.290
Степени свободы	0.4	0.2	0.1	0.05	0.02	0.01	0.002	0.001
n	Уровень значимости a (двусторонняя критическая область)