Моделирование последовательности независимых случайных испытаний.

Пусть проводится последовательность k независимых испытаний.

Предположим, что результатом каждого из этих k независимых испытаний может быть появление одного из n несовместных событий , образующих полную группу. Известна вероятность появления каждого события, которая не изменяется при переходе от одного испытания к другому. Так как события несовместны и образуют полную группу, то

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом. Разделим отрезок [0,1] на n участков , длины которых соответственно равны (рис. 1). Получаем последовательность значений случайной величины R. Если , то считаем, что в i- м испытании наступило событие _. Это допущение правомерно, так как .

Пример.

Пусть проводится последовательность независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из несовместимых событий , образующих полную группу; P (A₁)=0,35; P (A₂) = 0,25; P (A₃) = 0,4.

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом. Разделим, как показано на рис.2, отрезок [0,1] на три участка. Пусть r₁ =0,15; это число попало на первый участок, значит, в первом испытании произойдет событие А_1. Значение r₂ =0,34, т. е. во втором испытании опять произойдет событие А₁; далее, r₃ =0,71 — в третьем испытании произойдет событие А₃ и т. д.

ОБЩИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Если случайная величина дискретна, то её моделирование (получение последовательности значений) можно свести к моделированию независимых испытаний. Действительно, пусть имеет место следующий ряд распределения:

Обозначим через A _i событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x_i. Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной X в результате испытания, сводится к определению того, какое из событий A ₁, A ₂ ,…,A_n появится. Так как события A ₁, A ₂ ,…,A_n несовместны, образуют полную группу и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной X, можно использовать процедуру моделирования последовательности независимых испытаний.

Помимо описанного выше общего алгоритма моделирования дискретной случайной величины для многих законов распределения существуют специальные алгоритмы.

Для моделирования непрерывной случайной величины существует множество методов, большая часть которых зависит от вида заданного распределения этой величины. Рассмотрим общие алгоритмы моделирования НСВ. Простейший случай – это равномерно распределенные случайные числа. Для получения их последовательности можно использовать линейный конгруэнтный метод: x_n = (cx_n-1 + d) mod m, где c, d, m – это натуральные числа, причем период m берется очень большим. Генератор выдает числа r = x_n/m, принадлежащие отрезку [0,1]. Имея алгоритм генерации таких чисел, можно получать числа из произвольного интервала [a,b]: x = a + (b - a)× r.

Более сложные распределения часто строятся с помощью равномерного распределения. Рассмотрим достаточно универсальный метод Неймана (метод отбора-отказа).

Пусть необходимо генерировать случайные числа с некоторой заданной нормированной плотностью вероятности f(x) на интервале [a,b]. Введем положительно определенную функцию сравнения v(x) такую, что v(x) = v = max f(x) и v(x) > f(x) на [a,b]. Поскольку площадь под кривой f(x) равна для интервала [x, x+dx] вероятности попадания x в этот интервал, можно использовать метод случайных испытаний. Генерируем равномерно распределенное случайное число r Î[0,1] и получаем числа x = a + (b - a)× r и y = r× v. Если точка M(x,y) не попадает под кривую f(x), то ее отбрасывают, в противном случае – оставляют. При этом множество координат x оставленных точек будет распределено в соответствии с плотностью вероятности f(x).

Метод эффективен, когда функции v(x) и f(x) близки. В качестве v(x) можно брать ступенчатые функции.