Принцип арифметической середины.

Лекция IV

Основы математической обработки

Результатов измерений

 

Общие понятия об измерениях

Измерение – процесс сравнения одной физической величины с другой одноименной, принятой за единицу измерения.

Единица измерения углов – градус (прямой угол делится на 90 равных частей), 1°= 60^΄, 1^΄= 60^˝. В системе СИ за единицу измерения принят радиан – центральный угол, опирающийся на дугу равную радиусу (ρ° = 57^о3^΄; ρ° =3438^΄; ρ^˝ = 206065˝).

Единица измерения длины - 1м (см; мм).

Единица измерения площади – м², массы – кг, температуры – градус t°, времени – сек., давления –Па (паскаль) и т.д.

Геодезические измерения позволяют определить относительное расположение точек земной поверхности. Различают следующие виды измерений:

1. Линейные – наклонные и горизонтальные расстояния между точками (мерные ленты, рулетки, проволоки, оптические, свето- и радиодальномеры).

2. Угловые – горизонтальные и вертикальные углы (угловые инструменты: теодолиты, бусоли, эклиметры).

3. Высотные, в результате которых получают разности высот отдельных точек (нивелиры, теодолиты-тахеометры и т.д.).

Измерения бывают непосредственные (или прямые) и косвенные.

Непосредственные – непосредственное сравнение с единицей измерения (например: при измерении длины отрезка линейкой).

Косвенные – когда нужную величину получают как функцию других непосредственно измеренных величин (например: формула длины окружности L = 2πr, где измеряем r). Данные измерений заносятся в специальные журналы. При этом часто составляют схематические чертежи местности, называемые абрисами. Большое место в геодезии занимают камеральные работы – математическая обработка результатов измерений, составление чертежей (плана, карты, профиля).

 

Погрешности измерений.

Как правило, результат измерений никогда не совпадает с истинным значением измеряемой величины. Различают три основных вида погрешностей:

Грубые ошибки^* - резко отклоняют результат измерения от истинного значения измеряемой величины (просчеты, неверные записи, потеря знака и т.д.).

Систематические погрешности – входят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Источником погрешностей могут быть: неправильная длина мерного прибора, отклонения визирного луча от горизонтали при нивелировании, неточная установка прибора, личная погрешность наблюдателя и т.д. Такие погрешности исправляются путем введения соответствующих поправок.

Случайные погрешности носят случайный характер. Вызванные непрерывными изменениями условий измерений, случайные погрешности неизбежны. Определить заранее величину и знак невозможно, но они связаны между собой систематической закономерностью.

Свойства случайных погрешностей измерений.

Случайной погрешностью Δ называют разность между измеренным значением l величины и ее истинным значением Х, т.е.

Х = l – Δ.

 

Приняв это условие, основные свойства случайных погрешностей можно сформулировать следующим образом:

а) при данных условиях измерений случайные погрешности не могут превосходить по абсолютной величине определенного предела;

б) малые по абсолютной величине погрешности в данном ряду появляются чаще больших;

в) одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности в данном ряду равновозможны;

г) среднее арифметическое из всех случайных погрешностей данного ряда равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном числе измерений стремится к 0, т.е.

 

lim _n→∞ .

 

Принцип арифметической середины.

За вероятнейшее значение измеряемой величины при равноточных наблюдениях следует принимать среднюю арифметическую величину из ряда результатов измерений: ее называют арифметической серединой.

 

Средняя квадратическая погрешность.

Имея ряд измерений одной и той же величены, мы должны уметь оценивать точность как одного измерения, так и арифметической середины. Для оценки точности отдельного измерения в теории погрешностей применяется введенная Гауссом средняя квадратическая погрешность:

m = ± , (i = 1, 2,3…, n) ф-ла Гаусса.

По формуле Гаусса определяют среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений, когда истинное значение Х измеряемой величины известно. Если же Х неизвестно, то среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений определяют через уклонения от арифметической середины по формуле:

m = , (ф-ла Бесселя)

где δ – разность между каждым отдельным измерением l_i и среднеарифметическим Х, где δ_i = l_i – x и x = .