Расчет стационарных характеристик цепи

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

ИРКУТСКИЙ ФИЛИАЛ

 

КАФЕДРА АРЭО

 

ЛЕКЦИЯ № 6

по дисциплине

Радиотехнические цепи и сигналы

 

для студентов специальности 160905-ЗО

 

 

Раздел 6. Расчет и анализ электрической цепи

Иркутск, 2013 г.

 

Техническое задание

На вход цепи (рис. 1) подается периодическая последовательность прямоугольных импульсов:

Построить стационарные характеристики (АЧХ и ФЧХ). Найти спектр выходного сигнала и сравнить его со спектром входного, если:

 

Анализ задания

Как известно, в теории радиотехнических цепей существует два типа задач: задача анализа и задача синтеза. Задача данной курсовой работы – это задача анализа, или прямая задача теории цепей.

Напомним суть задачи анализа: при известном входном воздействии и известных параметрах электрической цепи определить отклик (выходную реакцию) цепи. Входным воздействием в данном случае является периодическая последовательность прямоугольных импульсов U(t), электрической цепью – цепь, представленная на рис. 1, а ее параметрами – сопротивления R и емкостные сопротивления С. Под определением отклика понимается нахождение спектра выходного сигнала.

Рассмотрим подробнее, что представляют собой входной сигнал и электрическая цепь.

1. Входной сигнал. На вход заданной электрической цепи подается одномерный детерминированный аналоговый сигнал , где периодическая последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τ и периодом Т. Скважность такого сигнала N = T/τ. В рассматриваемом случае
T = 150 мкс, τ = 30 мкс – N = 150/30 = 5.

Для определенности положим, что источником сигналов является идеализированный источник напряжения. Источник, напряжение на зажимах которого не зависит от типа и величины подключаемой нагрузки.

Следует также указать область допустимых входных воздействий D_вх. Так как в техническом задании специально не оговорены какие-либо ограничения на параметры цепи (помимо номинальных значений), то будем считать, что на вход цепи можно подать сигнал произвольной формы (любой амплитуды и фазы). Таким образом, D_вх = ∞. В действительности же ограничения на эту область могут быть составлены с учетом допустимых мощностей, рассеиваемых на резисторах, допустимых напряжений, подаваемых на конденсаторы, и т. д.

2. Электрическая цепь. Любая электрическая цепь может быть стационарной или нестационарной, линейной или нелинейной, сосредоточенной или распределенной системой. На данном этапе курсовой работы нельзя однозначно определить тип заданной электрической цепи, т.к. о линейности и стационарности судят по частотному коэффициенту передачи, а о сосредоточенности/распределенности можно судить, зная спектральный состав входного сигнала (длины волны каждой существенной гармоники). В связи с этим окончательная характеристика цепи будет представлена только после совершения всех необходимых расчетов.

 

Расчет стационарных характеристик цепи

Стационарная характеристика цепи или характеристика установившегося режима представляется зависимостью передаточной функции K(jω) от частоты ω:

К стационарным характеристикам относятся амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (АЧХ и ФЧХ). Их можно определить с помощью частотной передаточной характеристики (или частотного коэффициента передачи) следующим образом:

Составление системы уравнений Кирхгофа.

Чтобы найти K(jω),определим U_вых. Для этого:

1. Упростим схему заданной электрической цепи, представленной на рис. 1, с помощью эквивалентных преобразований: Z = R+X.

2. Определим количество узлов, ветвей и контуров: 3 контура, 3 узла, 5 ветвей.

3. Определим первоначальное направление обхода контуров: 1-й и 3-й контуры – почасовой стрелке, 2-й контур против часовой стрелки.

4. Составим систему уравнений Кирхгофа для токов в узлах и напряжений в контурах:

Здесь

Для однозначного решения системы пяти неизвестных (I₁I₅) достаточно, чтобы система содержала пять уравнений из шести имеющихся. Нетрудно заметить, что уравнение (с) можно получить из уравнений a) и b). Исключим уравнение и получим систему пяти неизвестных из пяти уравнений:

Решим эту систему в общем виде. Воспользуемся для этого встроенными средствами программы для математических вычислений MathCAD.

Выделим среди полученных уравнений, уравнение для вычисления тока I5

Подставляя найденное значение I5 в выражение для , получим значение U_вых: