Высшие гармоники в трехфазных цепях

Измерение действующих значений несинусоидальных токов и напряжений

Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях переменного синусоидального тока применяются различные приборы, отличающиеся по принципу их действия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения действующих значений токов и напряжений проградуированы в действующих значениях измеряемых величин.

Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы электромагнитной и электродинамической систем) реагирует на действующее значение измерянной величины (I, U) и, следовательно, для их шкал коэффициент пересчета равен единице (к_n =1).

Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (I_ср, U_ср) или на максимальное (I_max, U_max) значение измеряемой величины, но их показания пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.

Для приборов, реагирующих на среднее значение, коэффициент пересчета равен:

Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пересчета равен:

Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от амплитуд отдельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от амплитуд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого следует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несинусоидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.

Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармоники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:

a) , (рис. 124а),

б) , (рис. 124б).

Действующие (U), максимальные (U_max) и средние (U_ср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V ₁– непосредственного измерения, V ₂- косвенного измерения с реакцией на максимальное значение U_max и V ₃- косвенного измерения с реакцией на среднее значение U_ср) приведены ниже в таблице.

Схема	U, B	U_max, B	U _cp,B	V ₁	V ₂	V ₃
а)	71,1		65,8	71,1	63.6	73,0
б)	71,1		61,6	71,1	77,8	68,4

Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвенного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая погрешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).

Высшие гармоники в трехфазных цепях

В симметричном трехфазном режиме токи и напряжения в фазах сдвинуты взаимно во времени на D t = T /3 в порядке следования фаз А ® В ® С ® А, что в градусной мере составляет: для 1 гармоники D wt = = 120°, для 2 гармоники D2 wt = 2× = 240= -120°, для 3 гармоники D3 wt = 3× = 360° = 0, и т. д.

Из этого следует, что в симметричной трехфазной системе гармоники с порядковым номером к = 3 n -2 (n = 1, 2, 3…), т.е. 1-я, 4-я, 7-я и т.д., имеют прямой порядок следования фаз А ® В ® С ® А и, следовательно, образуют симметричные системы прямой последовательности. Гармоники с порядковым номером к = 3 n +1 (2-я, 5-я, 8-я и т.д.) имеют обратный порядок следования фаз А ® С ® В ® А и, следовательно, образуют симметричные системы обратной последовательности. Гармоники с порядковым номером к =3 n (3-я, 6-я, 9-я и т.д.) имеют нулевой порядок следования фаз, т.е. совпадают, и, следовательно, образуют симметричные системы нулевой последовательности.

Пусть обмотки трехфазного генератора соединены по схеме звезды с выводом нулевой точки, а его фазные напряжения (ЭДС) содержат все возможные гармоники (рис. 125).

U_A U_B U_C

B функциях фазных напряжений будут содержаться все гармоники с соответствующими их номеру сдвигами фаз:

u_A (t) = U _{1 m}sin wt +U _{2 m}sin2 wt + U _{3 m}sin3 wt + …

u_B (t) = U _{1 m}sin(wt - 120°) +U _{2 m}sin(2 wt + 120°) + U _{3 m}sin3 wt + …

u_C (t) = U _{1 m}sin(wt +120°) + U _{2 m}sin(2 wt - 120°) + U _{3 m}sin3 wt + …

Векторные диаграммы напряжений для 1-й, 2-й и 3-й гармоник показаны на рис. 126а, б, в.

Линейные напряжения равны разности соответствующих двух фазных напряжений, например u_AB = u_A- u_B. Как следует из векторных диаграмм рис. 9 амплитуды линейных напряжений для гармоник прямой и обратной последовательностей в раз больше их фазных значений, а гармоники нулевой последовательности (кратные трем) в линейных напряжениях вообще отсутствуют (равны нулю):

u_AB (t) =

u_BC (t) =

u_CA (t) =

Действующие значения фазного и линейного напряжения:

;

Сравнение полученных уравнений показывает, что при наличии в фазных напряжениях генератора гармоник нулевой последовательности (кратных трем) стандартное соотношение не соблюдается, а именно . Из совместного решения этих уравнений получим: - действующее значение всех гармоник нулевой последовательности. В реальных трехфазных цепях четные гармоники, как правило, отсутствуют вообще, а амплитуда 9-й гармоники незначительна, поэтому можно приближенно считать, что U ₀ » U ₃, и U _{3 m}» U ₀ - амплитуда 3-й гармоники.

Если обмотки трехфазного генератора соединить по схеме треугольника, то гармоники прямой и обратной последовательностей в контуре треугольника складываясь, в сумме дают нуль, а гармоники нулевой последовательности складываются арифметически, и в контуре треугольника будет действовать суммарная ЭДС, равная 3 U₀. Даже при незначительных амплитудах гармоник нулевой последовательности в фазных ЭДС, вызываемые ими в контуре треугольника токи могут оказаться значительными по величине, так как внутреннее сопротивление обмоток очень мало. Это привело бы к дополнительным потерям энергии в генераторе и снижению его КПД. По этой причине обмотки трехфазных генераторов запрещается соединять по схеме треугольника.

Расчет трехфазной цепи при несинусоидальном напряжении генератора производится так же, как и любой сложной цепи, а именно, по методу наложения в три этапа. На 1-ом этапе выполняется разложение несинусоидального фазного напряжения в гармонический ряд Фурье. На 2-ом этапе выполняется расчет схемы для каждой гармоники в отдельности, при этом учитывается зависимость порядка следования фаз от номера гармоники. Например, гармоники токов нулевой последовательности могут замкнуться только через нулевой провод, поэтому при отсутствии нулевого провода гармоники кратные трем в фазных и линейных токах равны нулю.

На заключительном этапе расчета определяются действующие значения токов, напряжений, активные мощности.

В случае симметричной трехфазной нагрузки расчет токов и напряжений для каждой гармоники можно выполнять только в одной фазе А, а соответствующие токи и напряжения в других фазах определять через поворотные множители “ а ”, “ а ²” с учетом порядка следования фаз.

Пример. Задана схема цепи (рис. 127) и комплексные сопротивления фаз на основной частоте ( Ом, Ом, Ом. Фазные напряжения генератора несинусоидальны, гармонический состав задан:

u_A = 200sin wt + 50sin3 wt + 20sin5 wt

Требуется определить: 1) действующие значения фазных и линейных напряжений генератора, 2) действующие значения линейных (фазных) токов приемника и тока в нулевом проводе, 3) активные мощности генератора и приемника.

Расчет схемы для 1-й гармоники (прямая последовательность):

Расчет схемы для 3-й гармоники (нулевая последовательность):

Расчет схемы для 5-й гармоники (обратная последовательность):

Синтез решения.

Действующие значения фазного и линейного напряжений:

B, что меньше .

Действующие значения токов:

Так как при наличии нулевого провода отдельные фазы приемника работают независимо друг от друга, то активные мощности отдельных фаз приемника равны активным мощностям одноименных фаз генератора.

P_A = I ² _A×R_A = 0.976²×150 = 142.9 Вт

P_B = I ² _B×R _B= 1.108²×120 = 147.3 Вт

P_C = I ² _C×R_C = 0.865²×100 = 74.8 Вт

P = P_A + P_B + P_C = 365 Вт