I. Цели и задачи занятия
1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой производной.
2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.
3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.
II. План проведения и расчет учебного времени
| Содержание и порядок проведения занятия | Время, мин |
| ВВОДНАЯ ЧАСТЬ | |
| ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы: | |
| 1. Монотонность и экстремумы. | |
| 2. Исследование функций. | |
| ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ | |
| ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
III. Учебно-материальное обеспечение
Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.
IV. Методические материалы
К проведению практического занятия
Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.
Первый учебный вопрос (10 мин).
Монотонность и экстремумы.
При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.
Функция 
называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если 
=> 
(если => 
– неубывающая).
Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => 
(если => 
– невозрастающая).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале 
функция 
возрастает (убывает), то 
(
) для 
.
Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с 
(т.к. 
=> 
– острый).
Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.
Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке 
, то ее производная в этой точке равна нулю: 
.
Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и 
(
) для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).
Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная 
меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).
Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:
1. Найти производную функции .
2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:
а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;
б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.
3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.
4. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (
), то при 
в точке функция имеет максимум и минимум – при 
.
Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной:
1. Найти первую производную .
2 Приравняв ее к нулю, найти критические точки.
3. Найти вторую производную 
.
4. Найти значения 
в критических точках:
если она окажется <0, то критическая точка – точка максимума;
если она окажется >0, то критическая точка – точка минимума.
Вопросы, задаваемые обучающимся:
- Какая функция называется возрастающей (неубывающей)?
- Какая функция называется убывающей (невозрастающей)?
- Что такое интервалы монотонности функции?