Монотонность и экстремумы.

I. Цели и задачи занятия

1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой производной.

2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.

3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.

 

II. План проведения и расчет учебного времени

Содержание и порядок проведения занятия	Время, мин
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы:
1. Монотонность и экстремумы.
2. Исследование функций.
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

III. Учебно-материальное обеспечение

Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.

 

IV. Методические материалы

К проведению практического занятия

 

Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.

 

Первый учебный вопрос (10 мин).

Монотонность и экстремумы.

 

При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.

 

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если => (если => – неубывающая).

 

Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => (если => – невозрастающая).

 

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

 

Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то () для .

Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с (т.к. => – острый).

 

Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.

Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

 

Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

 

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).

 

Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).

 

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:

 

1. Найти производную функции .

2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:

а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;

б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.

3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума.

 

Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

 

Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной:

 

1. Найти первую производную .

2 Приравняв ее к нулю, найти критические точки.

3. Найти вторую производную .

4. Найти значения в критических точках:

если она окажется <0, то критическая точка – точка максимума;

если она окажется >0, то критическая точка – точка минимума.

Вопросы, задаваемые обучающимся:

1. Какая функция называется возрастающей (неубывающей)?
2. Какая функция называется убывающей (невозрастающей)?
3. Что такое интервалы монотонности функции?