Задачи на сложение и умножение вероятностей

Когда мы рассматриваем вероятность нескольких событий, возможны две ситуации

Пример:

1)Если шах­ма­тист А. иг­ра­ет бе­лы­ми фи­гу­ра­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у шах­ма­ти­ста Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А. иг­ра­ет чер­ны­ми, то А. вы­иг­ры­ва­ет у Б. с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Шах­ма­ти­сты А. и Б. иг­ра­ют две пар­тии, причём во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А. вы­иг­ра­ет оба раза.

Решение:

Если А играет белыми, то вероятность выигрыша 0,5

Если А играет черными, то вероятность выигрыша 0,3

По условию видим, что А обязательно играет и белыми, и черными, значит, чтобы найти вероятность надо перемножить обе вероятности: 0,5*0,3=0,15

 

2) На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ник от­ве­ча­ет на один во­прос из спис­ка эк­за­ме­на­ци­он­ных во­про­сов. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Впи­сан­ная окруж­ность», равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что это во­прос по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,15. Во­про­сов, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам, нет. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по одной из этих двух тем.

Решение:

Вероятность того, что школьнику попадется вопрос по теме «Вписанная окружность» 0,2

Вероятность того, что школьнику попадется вопрос по теме «Параллелограмм» 0,15

Школьнику попадется вопрос либо по теме «Вписанная окружность», либо по теме «Параллелограмм», значит, чтобы найти вероятность, надо сложить вероятность одного и вероятность другого события: 0,2+0,15=0,35

 

Задачи:

 

1) Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

2) Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный те­ле­фон­ный номер окан­чи­ва­ет­ся двумя чётными циф­ра­ми?

3) В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга).

4) Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

5) По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

6) Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 4 очка в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 3 очка, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,4.

7) При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели. Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

8) В Вол­шеб­ной стра­не бы­ва­ет два типа по­го­ды: хо­ро­шая и от­лич­ная, причём по­го­да, уста­но­вив­шись утром, дер­жит­ся не­из­мен­ной весь день. Из­вест­но, что с ве­ро­ят­но­стью 0,8 по­го­да зав­тра будет такой же, как и се­год­ня. Се­год­ня 3 июля, по­го­да в Вол­шеб­ной стра­не хо­ро­шая. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да.

9) Ков­бой Джон по­па­да­ет в муху на стене с ве­ро­ят­но­стью 0,9, если стре­ля­ет из при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра. Если Джон стре­ля­ет из не­при­стре­лян­но­го ре­воль­ве­ра, то он по­па­да­ет в муху с ве­ро­ят­но­стью 0,2. На столе лежит 10 ре­воль­ве­ров, из них толь­ко 4 при­стре­лян­ные. Ков­бой Джон видит на стене муху, на­уда­чу хва­та­ет пер­вый по­пав­ший­ся ре­воль­вер и стре­ля­ет в муху. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся.

 

 

Решения и ответы:

 

1) Для начала, надо найти вероятность того, что батарейка исправна. Она равна 1-0,06=0,94.

Так как и первая, и вторая батарейки должны быть исправны, то для нахождения вероятности мы должны использовать произведение: 0,94*0,94=0,8836

2) У нас есть две цифры. Так как из 10 цифр 5 четных, вероятность того, что одна цифра в конце номера будет четная 0,5. Так как и последняя, и предпоследняя цифра должны быть четными, то мы найдем вероятность, используя произведение: 0,5*0,5=0,25

3) Т.к. заняты все продавцы (и первый, и второй, и третий), то мы перемножаем: 0,3*0,3*0,3=0,027

4) Т.к. вероятность попадания 0,8, то вероятность непопадания 1-0,8=0,2. Тогда будет следующая картина:

1 выстрел	2 выстрел	3 выстрел	4 выстрел	5 выстрел
0,8	0,8	0,8	0,2	0,2

Так как все эти события должны произойти, то мы их перемножаем: 0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048

И теперь округляем до сотых, получается 0,2.

5) Найдем вероятность того, что обе лампы перегорят: 0,3*0,3=0,09, тогда вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит 1-0,09=0,91

6) Так как вероятность выигрыша и проигрыша 0,4, то вероятность ничьей

1-(0,4+0,4)=1-0,8=0,2. Ситуации, в которых команда наберет хотя бы 4 очка возможны следующие:

1 игра	2 игра
Выигрыш - 3	Выигрыш - 3
Выигрыш - 3	Ничья - 1
Ничья - 1	Выигрыш - 3

 

Вероятность первой ситуации 0,4*0,4=0,16

Вероятность второй ситуации 0,4*0,2=0,08

Вероятность третьей ситуации 0,2*0,4=0,08

Так как возможна либо первая ситуация, либо вторая, либо третья, то вероятности складываются 0,16+0,08+0,08=0,32

7) Если делается один выстрел, то вероятность попадания 0,4: 0,4 < 0,98

Если делается два выстрела, то возможны две ситуации:

	1 выстрел	2 выстрел
Попал с первого раза	0,4
Не попал в первый раз, попал во второй раз	1-0,4=0,6	0,6

В первой ситуации вероятность 0,4, во второй 0,6*0,6=0,36. Так как возможна либо та, либо другая ситуация, то вероятности складываются 0,4+0,36=0,76: 0,76 < 0,98

Если делается три выстрела, то возможны три ситуации:

	1 выстрел	2 выстрел	3 выстрел
Попал с первого раза	0,4
Не попал в первый раз, попал во второй раз	1-0,4=0,6	0,6
Не попал в первый и во второй раз, попал в третий раз	0,6	1-0,6=0,4	0,6

Теперь найдем вероятность каждой из ситуаций и сложим их:

0,4+0,6*0,6+0,6*0,4*0,6=0,904: 0,904 < 0,98

Если делается 4 выстрела:

	1 выстрел	2 выстрел	3 выстрел	4 выстрел
Попал с 1 раза	0,4
Попал со 2 раза	0,6	0,6
Попал с 3 раза	0,6	0,4	0,6
Попал с 4 раза	0,6	0,4	0,4	0,6

0,4+0,6*0,6+0,6*0,4*0,6+0,6*0,4*0,4*0,6=0,9616: 0,9616 < 0,98

Если делается 5 выстрелов:

	1 выстрел	2 выстрел	3 выстрел	4 выстрел	5 выстрел
Попал с 1 раза	0,4
Попал со 2 раза	0,6	0,6
Попал с 3 раза	0,6	0,4	0,6
Попал с 4 раза	0,6	0,4	0,4	0,6
Попал с 5 раза	0,6	0,4	0,4	0,4	0,6

0,4+0,6*0,6+0,6*0,4*0,6+0,6*0,4*0,4*0,6+0,6*0,4*0,4*0,4*0,6=0,98464: 0,98464 > 0,98

Таким образом, для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98, потребуется 5 выстрелов.

 

8)

	3 июля	4 июля	5 июля	6 июля
1 ситуация	хорошая	Хорошая, т.е. такая же как вчера	Хорошая, т.е. такая же как вчера	Отличная, т.е. нетакая же как вчера
	0,8	0,8	1-0,8=0,2
2 ситуация	хорошая	хорошая	отличная	отличная
	0,8	0,2	0,8
3 ситуация	хорошая	отличная	хорошая	отличная
	0,2	0,2	0,2
4 ситуация	хорошая	отличная	отличная	отличная
	0,2	0,8	0,8

Так как возможна лишь одна из этих ситуаций (или 1, или 2, или 3, или 4), то вероятности этих ситуаций складываются.

Вероятность 1: так как и 4, и 5, и 6 июля должны выполняться определенные условия, то вероятность равна 0,8*0,8*0,2,

Таким же образом находим вероятность 2, 3 и 4 событий:

0,8*0,2*0,8

0,2*0,2*0,2

0,2*0,8*0,8

Теперь сложим вероятности: 0,8*0,8*0,2+0,8*0,2*0,8+0,2*0,2*0,2+0,2*0,8*0,8=0,392

Таким образом, ве­ро­ят­ность того, что 6 июля в Вол­шеб­ной стра­не будет от­лич­ная по­го­да, равна 0,392.

9)

	Револьвер пристрелянный или непристрелянный	Вероятность того, что промахнулся
1 случай	Револьвер пристрелян	1-0,9=0,1
4 из 10 пристреляны, значит вероятность 0,4
2 случай	Револьвер не пристрелян	1-0,2=0,8
1-0,4=0,6

Вероятность 1 случая: 0,4*0,1=0,04

Вероятность 2 случая: 0,6*0,8=0,48

Так как возможен лишь один из случаев, то вероятности складываются: 0,04+0,48=0,52

Таким образом, ве­ро­ят­ность того, что Джон про­махнётся, 0,52.