Собственные векторы и собственные числа матрицы

Справочный материал.

Упорядоченная система n действительных чисел называется n-мерным вектором. Обозначение: или . Числа называются компонентами вектора.

Множество всех n -мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным векторным пространством .

Число называется собственным значением (собственным числом) матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство . При этом вектор называется собственным вектором матрицы A. Данное в определении уравнение можно переписать в виде . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы A.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. Найдём собственные числа матрицы. Для этого составим характеристическое уравнение: или

, корни которого являются собственными чисоами матрицы.

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем. Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .

ЗАДАЧА 5.

Квадратичные формы

Справочный материал.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: , где – матрица-столбец переменных, А – матрица квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все её коэффициенты при : .

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определённым.

Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А положительны или все главные миноры матрицы А положительны (Критерий Сильвестра).

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А отрицательны или все главные миноры матрицы А нечётного порядка отрицательны, а матрицы чётного порядка положительны (Критерий Сильвестра).

Пример. Привести квадратичную форму L к каноническому виду: