Собственные векторы и собственные числа матрицы

Справочный материал.

Упорядоченная система n действительных чисел называется n-мерным вектором. Обозначение: или . Числа называются компонентами вектора.

Множество всех n -мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным векторным пространством .

Число называется собственным значением (собственным числом) матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой вектор , что выполняется равенство . При этом вектор называется собственным вектором матрицы A. Данное в определении уравнение можно переписать в виде . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть . Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы A.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. Найдём собственные числа матрицы. Для этого составим характеристическое уравнение: или

, корни которого являются собственными чисоами матрицы.

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем. Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .

Найдём собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого значение подставляем в уравнение . Откуда получаем или или Одно из уравнений системы можно отбросить и получаем . Система имеет бесконечное множество решений. Придадим переменной значение , тогда . Таким образом собственный вектор матрицы, соответствующий собственному числу имеет вид: .

ЗАДАЧА 5.

Квадратичные формы

Справочный материал.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждое слагаемое которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: , где – матрица-столбец переменных, А – матрица квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все её коэффициенты при : .

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определённым.

Нормальным видом квадратичной формы называют сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или –1.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется положительно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n положительных квадратов.

Квадратичная форма L от n неизвестных с действительными коэффициентами называется отрицательно определённой, если она приводится к нормальному виду, состоящему из n отрицательных квадратов.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А положительны или все главные миноры матрицы А положительны (Критерий Сильвестра).

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда: все собственные значения матрицы А отрицательны или все главные миноры матрицы А нечётного порядка отрицательны, а матрицы чётного порядка положительны (Критерий Сильвестра).

Пример. Привести квадратичную форму L к каноническому виду:

.

Решение.

Выполним следующие преобразования:

 

.

Выполним переобозначения:

, , .

Полученное линейное преобразование , , приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду:

.

Ответ: .

Вопросы к экзамену (зачету)

1. Комплексные числа
2. Арифметические действия над комплексными числами

1. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма комплексного числа
2. Возведение в степень комплексного числа и извлечение комплексного корня
3. Многочлены. Разложение многочлена на множители
4. Комплексные корни многочлена. Разложение многочлена на множители
5. Метод Гаусса
6. Решение СЛАУ
7. Линейная зависимость. Ранг системы векторов
8. Базис и разложение вектора по базису
9. Фундаментальный набор решений однородной СЛАУ
10. Скалярное произведение
11. Скалярное произведение, длина вектора, угол между векторами
12. Ортогональный базис
13. Действия над матрицами
14. Арифметические действия над матрицами, транспонирование
15. Умножение матриц, возведение матрицы в степень
16. Определители
17. Вычисление определителя
18. Ранг матрицы
19. Обратная матрица
20. Матричные уравнения
21. Формулы Крамера
22. Матрица перехода от одного базиса к другому
23. Линейные операторы
24. Значение линейного оператора на векторе
25. Матрица линейного оператора
26. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису
27. Спектр линейного оператора
28. Собственные значения и собственные векторы матрицы
29. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
30. Квадратичные формы
31. Матрица квадратичной формы
32. Ранг квадратичной формы
33. Приведение квадратичной формы к нормальному виду
34. Приведение квадратичной формы к главным осям
35. Знакоопределенность квадратичной формы