Математическое описание цифровых САУ

Глава I

Структурно-операторное описание цифровой системы управления

Математическое описание цифровых САУ

В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.1.1 представлена одноконтурная система с управляющей ЭВМ. Съём сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа.

 

 

 

Рис. 1.1. Функциональная схема одноконтурной системы с управляющей ЭВМ

 

Если время съёма информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…(рис.1.2 а, б).

 

 

Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции

а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция x[kT]

 

Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми или шестнадцати разрядные. В шестнадцати разрядной сетке последний разряд составляет 0,007% от уровня сигнала. Величина эта ниже величины шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь.

После обработки информации сигналы с ЭВМ снимаются также с периодом Т и с задержкой на время выполнения алгоритма управления Т_A. За тем эти сигналы поступают на цифро-аналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной длительности Т_И (рис.1.3 а). Для простоты изложения сигналы на рис 1.2 и 1.3 совпадают по величине, т.е. передаточные функции алгоритма ЭВМ и Ц/А приняты равными единице. Поетому на рис.1.1 сигналу u^*(t) соответствует сигнал x^*(t). Как правило, длительность Т_И равны периоду квантования, т.е. Т_И=Т.

 

Рис. 1.3. Последовательность идеальных d-импульсов

 

Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала Dt=T. В этом случае производная по времени

заменяется дискретной функцией

 

(1.1)

 

 

называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (1.1) часто представляю в относительном времени, т.е. аргументом является число прошедших тактов квантования

.

Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные уравнения – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

представляется как разностное уравнение первого порядка

,

где

Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига D

(1.2)

где

 

 

Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено с помощью преобразования вида (1.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал , представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.1.3б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением

(1.3)

 

где - идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, и площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT (дельта функция). Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.1.3 б изображены в виде стрелок.

Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности

 

.

 

 

Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT,

 

можно записать

.

(1.4)

 

Учитывая, что

,

получим

.

Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи обозначим через z. В резильтате получим следующее выражение

Выражение (1.5) называется Z - преобразованием. Этот бесконечный ряд сходится, если .

Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной передаточной функции, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после ключей (квантователей по времени), примем, что эти квантователи (ключи) работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта, согласно (1.3) описываются следующим образом:

(1.6)

 

Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта - функцию.

,

где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t).

Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью

(1.7)

 

Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты nT (номер такта n не равен номеру k),

 

из (1.7) получим

 

(1.8)

 

 

Подвергнем выражение (1.8) дискретному преобразованию Лапласа

.

Обозначим n-k=g или n=g+k.

 

Тогда

.

Принимая во внимание, что при отрицательных значениях g функция и ,

получим

(1.9)

 

Вторая сумма в (1.9) является согласно (1.7), изображением входного сигнала. Следовательно, первая сумма представляет дискретную передаточную функцию или

.

Переходя к переменной z, получим Z - преобразованную передаточную функцию.

(1.10)

 

 

Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка

(1.11)

где

 

.

Весовая функция объекта

.

Подвергнем z-преобразованию это выражение

.

Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом . Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом

,

где

.

Преобразование (1.11) для элементарных функций w[kT] и x[kT] приводится в таблицах. Пример такой таблицы приведен ниже (таблица 1).

 

Таблица 1

x(t)	x(p)	x[kT]	x(z)
d(t)		d[kT]
1(t)		1[kT]
at2		aK2T2
K0e-aT		K0e-akT
sinw1t		sinw1kT

 

Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z^-n, где n – максимальное значение положительного показателя степени при z.

Рассмотренная процедура преобразований представляет следующую последовательность операций

(1.12)

 

где символ D обозначает определение W(z) или x(z) непосредственно по W(p) или x(p). Для рассмотренного выше примера

.

Такое D - преобразование проще всего осуществлять с помощью таблицы переходов (таблица 1, колонки x(p) и x(z)). Это позволяет исключить определение дискретной весовой функции.

Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов. Для каждого слагаемого по таблице находится Z-преобразованная функция, и исходя из свойства линейности z-преобразования

 

(1.13)

 

результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых.

Другим важным свойством Z - преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево

(1.14)

 

и сдвига на n-тактов вправо (упреждение) при нулевых начальных условиях

(1.15)

 

Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями

 

(1.16)

 

Операция D - преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных

 

(1.17)

 

Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=e^Tp

.

Преобразования (1.9) и (1.10) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов нулевой ширины и бесконечно большой амплитуды и площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной ширины T и конечной амплитуды, равной u[kT] (рис.1.3 а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя W_Ф(p), преобразующего дискретную функцию u_d(t) (или x_d(t) на рис.1.3 б) в дискретную функцию u^*(t) (или x^*(t) на рис.1.3 а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением

.

Применяя преобразование Лапласа, получим

или

(1.18)

 

 

Результирующая передаточная функция непрерывной части

 

W_K(p)=W_Ф(p)W_O(p). (1.19)

 

На рис.1.4 представлена на основании (1.18) и (1.19) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом.

 

 

 

 

Рис. 1.4. Структурная схема непрерывной части системы с

идеальным импульсным элементом

 

На рисунке показан общий случай для импульсов шириной Т_и. При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Т_и = Т), что чаще всего встречается на практике

.

Используя свойства Z - преобразования, можно доказать, что

(1.20)

 

 

В общем случае квантователи по времени (ключи на рис.1.1) замыкаются синхронно, но не синфазно, так как замыкание ключа на выходе происходит с задержкой на время выполнения ЭВМ программы управления Т_а. Очевидно, что 0 £ T_a £ T. Это приводит к появлению в замкнутой системе звена чистого запаздывания в наихудшем случае на такт квантования.

 

В этом случае согласно (1.14)

(1.21)

 

Довольно просто осуществляется Z - преобразование дискретной части замкнутой системы регулирования - алгоритма управляющей программы ЭВМ, представленного разностным уравнением (1.2).

Используя свойства z-преобразования (1.14), получаем

 

(1.22)

 

 

Из сравнения (1.2) и (1.22) следует, что Z - преобразование сводится к замене Dⁱ на z^-i. Следовательно, дискретная передаточная функция W_a(z), описывающая управляющий алгоритм, определится из (1.22) как

 

(1.23)

 

 

Объединяя (1.23) с (1.19) получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы

W_P(z)=W_a(z)W_C(p).

 

Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид

.

где F(z) - изображение внешнего (задающего или возмущающего) воздействия.

Применение Z - преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных систем: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее. Например, определение реакции на единичное воздействие производится следующим образом. Находим

.

Применяем обратное z-преобразование

(1.24)

 

Преобразование (1.24) наиболее просто осуществляется с помощью таблицы 1. Для этого, как и при прямом преобразовании, выражение в фигурных скобках представляется в виде элементарных слагаемых.

В качестве примере рассмотрим систему, представленную на рис.1.1, с объектом первого порядка (1.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И – регулятора.

Согласно (1.20)

Используя таблицу 1, получим

 

.

Окончательно

(1.23)

где

 

.

Уравнение непрерывного И – регулятора имеет вид

 

(1.26)

 

где e(t) = u_З(t) - u_OC(t) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора хорошо знакомый вид

(1.27)

 

Дискретный И – регулятор описывается уравнением

(1.28)

 

Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] значение этого воздействия на предыдущем шаге расчета

(1.29)

 

Вычтем из уравнения (1.28) уравнение (1.29)

(1.30)

 

Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И – регулятора

(1.31)

 

Для получения дискретной передаточной функции подвергнем z-преобразованию разностное уравнение (1.30)

.

Следовательно

(1.32)

 

Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D - преобразования от непрерывной передаточной функции (1.27) к дискретной.

Структурная схема рассматриваемой системы аналогична структуре непрерывной системы (рис.1.5).

 

 

Рис. 1.5. Структурная схема одноконтурной

дискретной системы управления

 

Результирующая передаточная функция этой системы согласно (1.25) и (1.31) имеет вид

или

 

(1.33)

 

где

.

 

По этой передаточной функции (1.33) можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора K_И и так далее. Эти вопросы будут рассмотрены во второй главе.