Глава I
Структурно-операторное описание цифровой системы управления
Математическое описание цифровых САУ
В системах управления, содержащих ЭВМ или микропроцессорный регулятор, сигналы квантуются по времени и по уровню. На рис.1.1 представлена одноконтурная система с управляющей ЭВМ. Съём сигналов с датчиков (Д) (опрос датчиков) осуществляется, как правило, с постоянным периодом Т. На схеме квантователь сигналов по времени изображен в виде ключа.
 |
Рис. 1.1. Функциональная схема одноконтурной системы с управляющей ЭВМ
Если время съёма информации мало, то сигнал с выхода ключа представляет собой значение сигнала x(t) в дискретные моменты времени kT, где k=0,1,2,…(рис.1.2 а, б).
 |
Рис. 1.2. Реальные и идеальные импульсные функции
а) непрерывная функция х(t); б) импульсная (решетчатая) функция x[kT]
Дискретный сигнал x[kT] в аналого-цифровом преобразователе А/Ц квантуется как по времени, так и по уровню. Управляющие ЭВМ обычно восьми или шестнадцати разрядные. В шестнадцати разрядной сетке последний разряд составляет 0,007% от уровня сигнала. Величина эта ниже величины шумов, поэтому дискретностью по уровню можно пренебречь.
После обработки информации сигналы с ЭВМ снимаются также с периодом Т и с задержкой на время выполнения алгоритма управления ТA. За тем эти сигналы поступают на цифро-аналоговый преобразователь Ц/А, с выхода которого снимаются импульсы конечной длительности ТИ (рис.1.3 а). Для простоты изложения сигналы на рис 1.2 и 1.3 совпадают по величине, т.е. передаточные функции алгоритма ЭВМ и Ц/А приняты равными единице. Поетому на рис.1.1 сигналу u*(t) соответствует сигнал x*(t). Как правило, длительность ТИ равны периоду квантования, т.е. ТИ=Т.
 |
Рис. 1.3. Последовательность идеальных d-импульсов
Таким образом, если не учитывать квантования по уровню, управляющая ЭВМ обрабатывает и выдает импульсные сигналы. Поэтому при описании управляющего алгоритма теряется смысл производной и интеграла, так как минимальное приращение временного интервала Dt=T. В этом случае производная по времени
заменяется дискретной функцией
(1.1)
называемой первой разностью. Величина Т=const, поэтому выражение (1.1) часто представляю в относительном времени, т.е. аргументом является число прошедших тактов квантования
.
Аналогично определяются вторая и более высокие разности. Операция интегрирования для импульсных функций заменяется суммированием, а дифференциальные уравнения – разностными. Например, простейшее дифференциальное уравнение первого порядка
представляется как разностное уравнение первого порядка
,
где
Динамическое звено n-го порядка реализуется алгоритмом работы ЭВМ как разностное уравнение того же порядка. Его удобно представлять, используя оператор сдвига D
(1.2)
где
Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Такое представление может быть осуществлено с помощью преобразования вида (1.1), но это может привести к значительным погрешностям. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал 
, представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.1.3б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением
(1.3)
где 
- идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, и площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT (дельта функция). Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.1.3 б изображены в виде стрелок.
Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности
.
Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT,
можно записать
.
(1.4)
Учитывая, что
,
получим
.
Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа. Для упрощения записи обозначим 
через z. В резильтате получим следующее выражение
Выражение (1.5) называется Z - преобразованием. Этот бесконечный ряд сходится, если 
.
Для перехода от непрерывной передаточной функции объекта к дискретной передаточной функции, связывающей дискретные входные и выходные сигналы после ключей (квантователей по времени), примем, что эти квантователи (ключи) работают синхронно. Импульсы, поступающие на вход объекта, согласно (1.3) описываются следующим образом:
(1.6)
Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта 
. Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта - функцию.
,
где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t).
Следовательно, сигнал с выхода объекта определяется зависимостью
(1.7)
Учитывая, что сигнал y(t) после квантователя передается в ЭВМ в дискретные моменты nT (номер такта n не равен номеру k),
из (1.7) получим
(1.8)
Подвергнем выражение (1.8) дискретному преобразованию Лапласа
.
Обозначим n-k=g или n=g+k.
Тогда
.
Принимая во внимание, что при отрицательных значениях g функция 
и 
,
получим
(1.9)
Вторая сумма в (1.9) является согласно (1.7), изображением входного сигнала. Следовательно, первая сумма представляет дискретную передаточную функцию или
.
Переходя к переменной z, получим Z - преобразованную передаточную функцию.
(1.10)
Рассмотрим в качестве примера объект первого порядка
(1.11)
где
.
Весовая функция объекта
.
Подвергнем z-преобразованию это выражение
.
Этот ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом 
. Следовательно, сумма этого ряда будет определяться следующим образом
,
где
.
Преобразование (1.11) для элементарных функций w[kT] и x[kT] приводится в таблицах. Пример такой таблицы приведен ниже (таблица 1).
Таблица 1
| x(t) | x(p) | x[kT] | x(z) |
| d(t) | d[kT] | ||
| 1(t) | 
| 1[kT] | 
|
| at2 | 
| aK2T2 | 
|
| K0e-aT | 
| K0e-akT | 
|
| sinw1t | 
| sinw1kT | 
|
Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z-n, где n – максимальное значение положительного показателя степени при z.
Рассмотренная процедура преобразований представляет следующую последовательность операций
(1.12)
где символ D обозначает определение W(z) или x(z) непосредственно по W(p) или x(p). Для рассмотренного выше примера
.
Такое D - преобразование проще всего осуществлять с помощью таблицы переходов (таблица 1, колонки x(p) и x(z)). Это позволяет исключить определение дискретной весовой функции.
Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов. Для каждого слагаемого по таблице находится Z-преобразованная функция, и исходя из свойства линейности z-преобразования
(1.13)
результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых.
Другим важным свойством Z - преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево
(1.14)
и сдвига на n-тактов вправо (упреждение) при нулевых начальных условиях
(1.15)
Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями
(1.16)
Операция D - преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных
(1.17)
Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=eTp
.
Преобразования (1.9) и (1.10) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов нулевой ширины и бесконечно большой амплитуды и площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной ширины T и конечной амплитуды, равной u[kT] (рис.1.3 а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя WФ(p), преобразующего дискретную функцию ud(t) (или xd(t) на рис.1.3 б) в дискретную функцию u*(t) (или x*(t) на рис.1.3 а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением
.
Применяя преобразование Лапласа, получим
или
(1.18)
Результирующая передаточная функция непрерывной части
WK(p)=WФ(p)WO(p). (1.19)
На рис.1.4 представлена на основании (1.18) и (1.19) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом.
Рис. 1.4. Структурная схема непрерывной части системы с
идеальным импульсным элементом
На рисунке показан общий случай для импульсов шириной Ти. При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Ти = Т), что чаще всего встречается на практике
.
Используя свойства Z - преобразования, можно доказать, что
(1.20)
В общем случае квантователи по времени (ключи на рис.1.1) замыкаются синхронно, но не синфазно, так как замыкание ключа на выходе происходит с задержкой на время выполнения ЭВМ программы управления Та. Очевидно, что 0 £ Ta £ T. Это приводит к появлению в замкнутой системе звена чистого запаздывания в наихудшем случае на такт квантования.
В этом случае согласно (1.14)
(1.21)
Довольно просто осуществляется Z - преобразование дискретной части замкнутой системы регулирования - алгоритма управляющей программы ЭВМ, представленного разностным уравнением (1.2).
Используя свойства z-преобразования (1.14), получаем
(1.22)
Из сравнения (1.2) и (1.22) следует, что Z - преобразование сводится к замене Di на z-i. Следовательно, дискретная передаточная функция Wa(z), описывающая управляющий алгоритм, определится из (1.22) как
(1.23)
Объединяя (1.23) с (1.19) получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы
WP(z)=Wa(z)WC(p).
Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид
.
где F(z) - изображение внешнего (задающего или возмущающего) воздействия.
Применение Z - преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных систем: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее. Например, определение реакции на единичное воздействие производится следующим образом. Находим
.
Применяем обратное z-преобразование
(1.24)
Преобразование (1.24) наиболее просто осуществляется с помощью таблицы 1. Для этого, как и при прямом преобразовании, выражение в фигурных скобках представляется в виде элементарных слагаемых.
В качестве примере рассмотрим систему, представленную на рис.1.1, с объектом первого порядка (1.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И – регулятора.
Согласно (1.20)
Используя таблицу 1, получим
.
Окончательно
(1.23)
где
.
Уравнение непрерывного И – регулятора имеет вид
(1.26)
где e(t) = uЗ(t) - uOC(t) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора хорошо знакомый вид
(1.27)
Дискретный И – регулятор описывается уравнением
(1.28)
Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] значение этого воздействия на предыдущем шаге расчета
(1.29)
Вычтем из уравнения (1.28) уравнение (1.29)
(1.30)
Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И – регулятора
(1.31)
Для получения дискретной передаточной функции подвергнем z-преобразованию разностное уравнение (1.30)
.
Следовательно
(1.32)
Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D - преобразования от непрерывной передаточной функции (1.27) к дискретной.
Структурная схема рассматриваемой системы аналогична структуре непрерывной системы (рис.1.5).
 |
Рис. 1.5. Структурная схема одноконтурной
дискретной системы управления
Результирующая передаточная функция этой системы согласно (1.25) и (1.31) имеет вид
или
(1.33)
где
.
По этой передаточной функции (1.33) можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора KИ и так далее. Эти вопросы будут рассмотрены во второй главе.
