Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.
Определение 4. Пусть задана функция 
переменных 
где 
- элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов 
, 
,…, 
. При 
величины 
, называются частными приращениями функция . Полное приращение функции - это величина 
.
Например, для функции двух переменных 
, где 
- точка на плоскости и 
, 
соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения 
, 
. При этом величина 
является полным приращениями функции двух переменных .
Определение 5. Частной производной функции переменных 
по переменной 
называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента 
, когда стремится к 0.
Запишем определение 5 в виде формулы 
или развернуто 
. Для функции двух переменных определение 2 запишется в виде формул 
, 
. С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.
Пример 4. Для функции 
, где 
найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.
Решение. Вычислим частные производные 
, 
и систему 
запишем в виде 
Решением этой системы являются две точки 
и 
.
Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Функция одной переменной 
называется дифференцируемой, если ее приращение 
представляется в виде 
, при этом величина 
является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина 
является функцией от , обладает тем свойством, что 
, т. е. является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа 
и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула 
.
Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости 
выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная 
, и в этом случае частный дифференциал определяется формулой 
.
А что же такое дифференциал ФНП?
Определение 3. Функция переменных 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее приращение представляется в виде 
. При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.
Итак, дифференциалом ФНП является величина 
. Уточним, что мы понимаем под величиной 
, которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов 
. Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство 
. По сути это означает, что 
= = 
+ 
+…+ 
.
А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?
Теорема 1. Если функция переменных 
дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом 
.
Доказательство. Равенство 
запишем при 
и 
в виде 
и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве 
перейдем к пределу при 
. В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.
Следствие. Дифференциал функции переменных вычисляется по формуле 
.
В примере 1 дифференциал функции был равен 
. Заметим, что этот же дифференциал в точке 
равен 
. А вот если мы его вычислим в точке с приращениями 
, 
, то дифференциал будет равен 
. Заметим, что 
, точное значение заданной функции в точке 
равно 
, а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно 
А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.
Теорема 2. Если у функции переменных в точке существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Для наглядности рассмотрим функцию двух переменных и точки  ,  ,  . Полное приращение функции в точке представим в виде и запишем
| 
|
в виде 
. В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим 
. В силу непрерывности частных производных производная 
в точке 
и производная 
в точке 
отличаются от производных 
и 
в точке на величины 
и , стремящиеся к 0 при 
, стремящихся к 0. Но тогда 
и, очевидно, 
. Теорема доказана.
