Область определения функции

Ответы

Объем тела вращения вокруг оси Ох

Площадь в полярной системе координат

Ответы

10.

11. Формула интегрирования по частям

12. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ох

Ответы

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Ответы

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Теория вероятностей

формула Бернулли

число сочетаний

число размещений

число перестановок

Два стрелка попали оба только один оба не попали

стрелка стрелок попал

хотя бы один стрелок попал

Три стрелка 3 попадания 2 попадания Только один попал 3 попали

Хотя бы один попал (мишень поражена):

1) 1-q₁q₂

2) 1- q₁q₂q₃

Пример. Студент знает 40 вопросов из 50. Найти вероятность того, что он знает оба вопроса экзамена.

Ответ: .

Ответы

1. .

Математическое ожидание

x_i
p_i	0,5	0,3	0,2

Пример.

Пример. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания для первого стрелка 0,7, для второго 0,8. Какова вероятность, что цель поражена?

Какова вероятность, что оба попадут в цель?

Дифференциальные уравнения первого порядка

Корни характеристического уравнения:

Пример.

1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение: .

2. Решить дифференциальное уравнение .

3. Решить дифференциальное уравнение .

Комплексные числа

1. Вычислить .

– алгебраическая форма

Пример.

– тригонометрическая форма.

2. Найти , если ,

Ответ: .

3. Найти i

Ответ: -1.

4. Найти , ,

Ответ: .

5. Найти , ,

Ответ:

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Ответ: (-1;2).

Проверка:

2. Найти обратную матрицу:

3. Найти , где ,

Ответ: .

Определители

6. Найти М₁₂:

6. Найти А₂₁ и А₃₃

Сложение и умножение матриц, вычитание

Умножение двух матриц

Ответ:

2х2 2х1 2х1 2х1

2х3 3х2 2х2 2х2

Транспортирование матрицы

i -строка, j -столбец

Разложение по первой строке

Разложение по первому столбцу

Правило треугольников (Саррюса)

М₁₃ вычеркиваем первую строку и третий столбец

1. Складывать и вычитать можно только матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

2. При умножении двух матриц количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы. Иначе нельзя:

Единичная матрица II порядка III порядка

Ранг матрицы – максимальный порядок миноров, отличных от нуля.

В ступенчатой матрице ранг равен числу ненулевых строк.

Обратная матрица:

Транспонированная матрица:

Записать первую строку как первый столбец, вторую строку как второй столбец и т.д.

Формулы Крамера:

в определителе вместо первого столбца ставили столбец свободного членов;

вместо второго столбца;

вместо второго столбца.

1. Найти угловой коэффициент прямой .

Ответ: 3, так как , где k – угловой коэффициент.

2. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой . . Ответ: 3.

3. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой . . Ответ: .

4. Найти угловой коэффициент прямой .

. Ответ: .

5. Найти коэффициент прямой, параллельной прямой .

, , . Ответ: .

6. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой .

, , .

7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-1;2) параллельно прямой .

Решение: .

Ответ:

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1;3) перпендикулярно прямой .

Решение:

, , берем . .

Найдем с: с=4. Ответ: .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом , где – угловой коэффициент.

Условие параллельности // Условие перпендикулярности

Общее уравнение прямой на плоскости:

, где -нормаль.

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

Уравнение прямой, проходящей через точки:

Каноническое уравнение прямой:

, где (m, n, p) – направляющей вектор.

Уравнение окружности:

– центр, – радиус.

1. Найти радиус окружности

. Ответ: 3.

2. Составить уравнение окружности с центром в точке С(1;1) и радиусом R=4. Ответ: .

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1;0), В(2;1).

2. Найти координаты точки пересечения прямых и . Ответ: .

3. Найти нормальный вектор прямой . Ответ: (3;4).

4. Найти направляющий вектор прямой . Ответ: (3;2;5).

5. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

6. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;3) и В(2;5).

, , . Ответ: .

1. Найти область определения функции .

. Ответ: .

2. Найти область определения функции .

Ответ: .

3. Найти область определения функции . Ответ: .

4. Найти область определения функции . . Ответ: .

5. Найти максимум функции .

Ответ: максимум=-16.

6. Найти интервалы убывания функции

Ответ: .

7. Найти минимум функции

Ответ: -4.

Область определения функции

1. Знаменатель не равен нулю.

2. .

3. .

Интервалы убывания .

Интервалы возрастания .

Максимум функции. Знаки с +на -.

Минимум функции. Знаки с – на +.

вогнутость вверх или выпуклость вниз «+».

выпуклость вверх или выгнутость вниз «-».

Перегиб. Точка, где знак меняется на противоположный. Ответ: (x;y).

8. Найти интервалы выпуклости вверх кривой .

Ответ: .

Если функция дифференцируема, то непрерывна.

. Дифференциал функции .

Ответы

1. Исследовать на непрерывность . Ответ: точки точки разрыва 2-го рода.

2. Количество точек максимума функции . Ответ: 0.

3. Найти точки разрыва функции . Ответ: , .

4. Укажите множество, где функция монотонно возрастает. Ответ: .

5. . Какого типа разрыв. Ответ: – точка разрыва второго рода.

6. Найти область определения функции . Решение . Ответ: .

7. Множество, где функция выпукла вверх, имеет вид. Ответ: .

8. Найти точку перегиба функции . Ответ: (1;4).

Ответы

1. . .

2. . .

3. . .

4. . .

5. . .

Функции многих переменных

Дифференциал .

Пример. 1.

2. Найти частные производные .

3. , Ответ: .

P.S. При нахождении все выражения, где нет у сразу отбрасываем.

4. .

. .

Полное приращение :

1. , . Найти . .

2. . Найти длину (модуль) вектора . -? .

3. Найти .

4. . Найти координаты середины отрезка .

5. Найти скалярное произведение векторов .

6. Найдите угол между векторами и .

(a^b)= , .

7. При каком значении х векторы и коллинеарны? .

8. При каком значении у векторы и перпендикулярны?

9. Найти единичный вектор , если .

Решение: . . .

10. Найти направляющие косинусы вектора , где , так как . Смотри пример 9.

11. Найти направляющие косинусы вектора . Решение .

1. .

2. . Длина (модуль) . .

3. Координаты середины отрезка .

4. Скалярное произведение векторов , . ,

Обозначается .

5. Найти угол между векторами .

Угол	0^°	30^°	45^°	60^°	90^°
sinα
cosα

6. Вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же или на параллельных прямых.

7. Если , то скалярное произведение. .

8. Найти единичный вектор (орт) вектора . Обозначается .

9. Направляющие косинусы вектора . .

Свойство: .

10. Найти проекцию вектора на вектор . .

Степенной ряд

Ряды

Числовой ряд

Даламбера Коши

Необходимый признак сходимости рядов: Если числовой ряд сходится, то .

– формула общего члена ряда часто обозначается вместо как .

– необходимый признак сходимости рядов.

Правила нахождения общего члена ряда:

1. Нечетные числа или . Например. 1,3,5,7,…

2. Четные числа или или . Например. 2,4,6,8,…

3. Степени числа 2 это 2ⁿ. Например, 2,4,8,16,32,…

4. Степени числа 3 это 3ⁿ. Например, 3,9,27,…

5. Различаются на 3, тогда , , , , . Например, 1,4,7,10,…

6. Различаются на 4, тогда , , , , , , . Например, 2,6,10,14,…

Знакочередующийся ряд сходится, если n в знаменателе, причем абсолютно, если степень>1.

1. Найти смешанное произведение векторов .

2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах (из примера 1). Решение: .

3. Найти объем пирамиды, построенной на векторах (из примера 1). Решение: .

4. Найти проекцию вектора на вектор . .

5. Разложите вектор по векторам и .

Ответ: или .

Ряды

– геометрическая прогрессия.

сходится, .

обобщенный гармонический ряд.

гармонический ряд, он расходится.

Пример. сходится. .

Сложение матриц

Умножение матрицы на число

Алгебраическое дополнение

Векторы

Угол между векторами

Смешанное произведение

Плоскость в пространстве .

– общее уравнение

– уравнение плоскости в отрезках

– нормальное уравнен6ие плоскости

– нормаль к плоскости.

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Взаимное расположение прямых

// , то есть , то есть

Умножение матриц

Формула

Рангом матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. Минором называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.