Геометрические вероятности

Основные понятия

 

Под опытом (испытанием) понимается осуществление определенных условий, которые могут быть повторены сколь угодно раз.

Возможные результаты опыта называются событиями, обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Событие, которое в данном опыте обязательно произойдет — достоверное событие (D); событие, которое в данном опыте произойти не может — невозможное (H).

Произведение событий А · В = С есть событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А + В = С есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Событие, противоположное А, обозначается Ā (не А). События А и В несовместны, если А · В = Н. События А (k =1,2, …, n) образуют полную группу событий, если . Отметим, что А · Ā = H, А + Ā = D.

Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство

А + В = А?

Решение. А + В событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Если А + В = А, то событие В не изменяет события А, а потому В является частью события А.

Например, из таблицы случайных чисел выбирают число. А — событие, состоящее в том, что число делится на 2; В — число делится на 4. А + В = А, так как если число делится на 4, то оно делится на 2.

 

Непосредственный подсчет вероятностей

Непосредственный подсчет вероятностей может быть произведен в том случае, когда результат опыта можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместные и равновозможные

,

n — число всех возможных исходов опыта; m — число исходов благоприятствующих событию А.

 

Пример 2.1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 5?

Решение. Событие А — сумма выпавших очков на двух костях равна 5. Число всех возможных исходов n = 36, так как 6 исходов на первой кости могут сочетаться с каждым из 6 исходов на второй кости. Число благоприятных исходов m = 4: (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), поэтому

 

.

 

Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности используется в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможные. Если размер всей области S, а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность равна .

Область может иметь любое число измерений, поэтому и могут представлять собой длины отрезков, площади, объемы.

Пример 3.1. В течение промежутка времени от 11 ч до 11ч 30 мин должен последовать телефонный звонок. Какова вероятность, что звонок последует в последние 10 минут указанного промежутка.

Решение. Будем рассматривать промежуток времени от 11ч до 11ч 30мин, как отрезок АВ длиной 30 единиц, промежуток от 11ч 20мин до 11ч 30мин (последние 10мин) как отрезок СВ длиной 10 единиц.

 

А С В

Рис. 1.

 

Вероятность того, что звонок произойдет в последние 10мин, в геометрической схеме означает вероятность того, что случайно брошенная точка в отрезок АВ попадет на отрезок СВ. Эта вероятность, очевидно, равна

.

 

Основные теоремы

1. Р (А + В) = Р (А) + Р (В), если А · В = Н, то есть А и В — несовместны.

2. Р (А · В) = Р (А) Р (В / A) = P (B) P (A / B).

Условной вероятностью Р (А / В) события А называется вероятность появления этого события, вычисленная при условии, что имело место событие В.

Р (А · В · С) = Р (А) Р (В / A) P (C / A · B)

3. Если события независимые, то Р (А · В) = Р (А) Р (В).

4. Р (Ā) = 1 ‑ Р (А).

Пример 4.1. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Найти вероятности следующих событий: в мишени две пробоины; в мишени одна пробоина; в мишени хотя бы одна пробоина.

Решение. Пусть А ₁ — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в цель, А ₂ — второй стрелок попал в цель. По условию Р (А ₁) = 0,7; Р (А ₂) = 0,8; А ₁ и А ₂ — независимы.

1. Событие А — в мишени две пробоины: А = А ₁· А ₂, поэтому

Р (А) = Р (А ₁· А ₂) = Р (А ₁)·Р(А ₂) = 0,7·0,8 = 0,56.

2. Событие В — в мишени одна пробоина: В = А ₁ Ā ₂+ Ā ₁ А ₂. Тогда

Р (В) = Р (А ₁) Р (Ā ₂) + Р (Ā ₁) Р (А ₂);

P (Ā ₁) = 1 ‑ P (А ₁) = 0,3; P (Ā ₂) = 0,2;

P (B) = 0,7 · 0,2 + 0,8 · 0,3 = 0,38.

3. Событие С — в мишени хотя бы одна пробоина (или одна или две).Очевидно, С = А + В, А и В несовместны.

Р (С) = Р (А) + Р (В) = 0,56 + 0,38 = 0,94.

 

Если Р (А) и Р (В) предварительно не были найдены, проще найти вероятность противоположного события — (в мишени нет пробоин):

= Ā ₁ · Ā ₂; Р () = 0,3 · 0,2 = 0,06; Р (С) = 1 ‑ Р () = 0,94