Числовые характеристики случайных величин

Способы задания законов распределения дискретных

Случайных величин

1.1. Случайная величина называется дискретной, если ее значения можно пронумеровать . Она может быть задана рядом распределения, многоугольником или функцией распределения.

1.2. Рядом распределения называется совокупность всех частных значений х _i и соответствующих им вероятностей . Ряд распределения оформляется обычно в виде таблицы

x_i	x₁	x₂	…	x_n	…
p_i	p₁	p₂	…	p_n	…

1.3. Многоугольником распределения называется графическое изображение ряда распределения.

1.4. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x), равная вероятности того, что случайная величина примет значения меньшее выбранного значения, т.е. . Функция F (x) вычисляется по формуле , где суммирование ведется по всем значениям i, для которых .

1.5. Свойства функции распределения

1. F (x) – функция неубывающая.

2. .

3. .

График имеет вид

Пример 1.1. Составить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при одном броске p = 0,3. Построить многоугольник и функцию распределения.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности могут быть вычислены по формуле:

Этой формулой можно пользоваться, если независимые испытания производятся n раз, вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p, a . – число сочетаний из n по k.

Здесь .

Ряд распределения

x_i
p_i	0,343	0,441	0,189	0,027

Многоугольник распределения Функция распределения

Непрерывная случайная величина. Плотность распределения.

2.1. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F (x) непрерывна.

Для описания непрерывных законов распределения чаще используется понятие плотности распределения:

называют также дифференциальной функцией распределения, а ее график – кривой распределения.

2.2. Свойства дифференциальной функции распределения.

Учитывая свойство (4), функцию F (x) часто называют интегральной функцией распределения непрерывной величины Х.

Пример 2.1. Непрерывная случайная величина имеет интегральную функцию распределения:

Найти . Построить графики .

Решение. По условию задачи функция F (x) непрерывна. При х = 0 разрыва нет. ; , чтобы при х = 1 не было разрыва, выбираем а = 1.

или

Числовые характеристики случайных величин

3.1. Основные числовые характеристики для дискретных случайных величин определяются по формулам:

– математическое ожидание случайной величины Х, которое характеризует среднее значение случайной величины, центр распределения. – дисперсия, определяет рассеивание случайной величины около центра. – среднее квадратичное отклонение.