Тригонометрические преобразования.

Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.

Задача 10. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа или .

= = = .

Ответ. .

 

Задача 11. Вычислить .

Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

= = =

= = .

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

= = .

Ответ. .

 

Подведение под знак дифференциала.

Задача 12. Вычислить .

Решение. Замечаем, что присутствует множитель , который является производной от . А остальная часть функции как раз зависит только от . Поэтому можно подвести под знак дифференциала: =

Применяем замену : = .

Далее, = , и после обратной замены .

Ответ. .

Задача 13. Вычислить интеграл .

Решение. = = = = =

= = . Учитывая тот факт, что , знак модуля не нужен.

Ответ. .

Задача 14. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Для сведения, покажем, как выглядит график функции .

Зелёным цветом изображён график , синим .

Вертикальные асимптоты .

Задача 15. Вычислить интеграл .

Решение. = = = =

. Ответ. .

 

Домашнее задание.

1. Вычислить интеграл . Ответ. .

2. Вычислить интеграл . Ответ. .

3. Вычислить интеграл . Ответ. .

4. Вычислить интеграл . Ответ. .

ПРАКТИКА № 2

Задача 1. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 2. Вычислить .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Задача 4. Вычислить .

Решение. Если сразу подвести под знак дифференциала то, что есть в числителе, то будет , но тогда в знаменателе получится выражение . чтобы не происходило такого усложнения и не появились вложенные квадратные корни, надо подводить не весь числитель, а отделить тот множитель, который нам удобнее, чтобы потом всё выражалось через .

= = =

и теперь, после замены , получится .

Далее, сделаем преобразование, котрое позволит оставить только однотипные корни:

= = =

=

далее уже с помощью обычных действий со степенными функциями:

= .

После обратной замены получаем ответ, при этом также заодно обратно меняем дробные степени на корни.

Ответ. .

Задача 5. Вычислить .

Решение. = =

= = = =

= = .

Ответ. .

Задача 6. Вычислить .

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое есть в знаменателе. Тогда = = = = .

Здесь фактически мы применили замену для упрощения выражения. Кстати, выделение полного квадрата в знаменателе это здесь был бы тупиковый путь, ведь в числителе не константа а многочлен, то есть не удалось бы свести к виду .

Ответ. .

 

Задача 7. Вычислить .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной от знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при :

=

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено :

= =

= .

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

=

.

Ответ. .

 

Задача 8. Вычислить .

Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на , но, тем не менее, в числителе есть переменная , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1-я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

= =

после замены переменной, это можно переписать так:

а значит, и после обратной замены:

Ответ. .

Задача 9. Вычислить .

Решение. = = = = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто а :

= = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Задачи по теме «Интегрирование по частям»

Вспомнить формулу .

Задача 10. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

Тогда = = .

Ответ. .

 

Домашние задачи.

1. Ответ. . Указание. См. задачу № 3.

2. Ответ. .

Указание. См. задачу № 7.

3. . Ответ. . Указание. См. задачу № 9.

 

ПРАКТИКА № 3

Задача 1. Вычислить интеграл .

Решение.

= = .

Задача 2. Вычислить интеграл .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .

Тогда = .

На 2-м шаге, обозначим , .

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

= = .

Итак, ответ: .

 

Задача 3. Вычислить интеграл

Решение. Пусть , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, .

Построим таблицу:

Тогда = =

= =

= .

Ответ: .

 

Задача 4. Вычислить интеграл

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая её при интегрировании по частям:

Тогда: = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

= =

= =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. .

 

 

Задача 5. Вычислить интеграл .

Решение. На этом примере вы увидите, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u.

Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает целая новая задача, связанная с поиском интеграла от арктангенса. Напротив, если , то его производная состоит только из степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придётся смириться с тем что усложняется, растёт его степень, т.е. перейдёт в , но зато арктангенс упрощается очень сильно. Итак, построим таблицу:

= = =

= =

= .

Задача 6. Вычислить интеграл

Решение. Пусть .

. На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается = = .

Из равенства можно выразить :

, .

Примечание. Интегралы вида и называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ. = .

 

Задача 7. Вычислить .

Решение. На первом шаге,

= . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

 

Продолжим преобразования:

=

.

После двух действий, мы видим снова интеграл в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

. А теперь можно просто выразить это арифметическим путём.

.

Итак, = .

Задача 8. Получить формулу вычисления интегралов вида .

Решение. Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

= = =

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .

= , то есть

, откуда выразим через :

,

вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .

 

Задача 9. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).

При этом n = 1. a = 1.

Формула приобретает такой вид: .

Ответ: = .

Домашнее задание.

1. Вычислить . (как в задаче 6).

2. Вычислить . (как в задаче 7).

3. Вычислить или (по рекурсивной формуле).

ПРАКТИКА № 4

Рациональные дроби.