Основные теоремы о пределах функций

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при (или при ), если ее предел равен нулю: .

 

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную или на другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

 

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной при , если для любого, сколь угодно большого числа , найдется такое число , что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство: .

Обозначение: .

Замечание. Если в этом определении вместо выполняется (или ), то пишут (или ).

 

Аналогично определяется понятие бесконечно большой величины при .

 

Определение. Функция называется бесконечно большой величиной при , если для любого, сколь угодно большого числа , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство: .

Обозначение: .

 

Замечание. Бесконечно большая величина – это неограниченная функция при (). Однако неограниченная функция не обязательно бесконечно большая.

Например, функция – неограниченная, но она колеблющаяся и, следовательно, обращается в нуль при сколь угодно больших значениях переменной .

 

 

Свойства бесконечно больших величин

1. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

2. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая

 

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

 

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при ().

И обратно, если функция – бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().

 

Основные теоремы о пределах функций

 

1. Функция не может иметь более одного предела, т.е. если существует , то он единственный.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. если существуют и , то .

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. если существуют и , то . (В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела).