Змістовний модуль 1.5 Границі функції
Самостійна робота БЛОК №4
Обчислення границь
Навчальна мета: ознайомитися з поняттям числової послідовності, границею послідовності, границею функції.
Розвивальна мета: розвивати швидкі та точні обчислювальні навички, увагу, пам’ять, спостережливість, шляхом розв’язування завдань.
Виховна мета: виховувати уважність та акуратність.
План
1. Приклади розв’язання
Варіанти індивідуальних завдань
Література
1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы [Текст]: учебное пособие / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576 с.: илл.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч 1 / П.Е. Данко, А.Г. Потапов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк..,1986. – 304 с.: илл.
3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч 2 / П.Е. Данко, А.Г. Потапов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1986. – 415 с.: илл.
4. Дидактичні матеріали з математики [Текст]: навч. посібник / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов [та ін.]. – К.: Вища школа, 2001. – 271 с.: іл.
5. Математика [Текст]: підручник / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов [та ін.]. – К.: Вища школа, 2001. – 447 с.: іл.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс [Текст]: курс лекций / Дмитрий Трофимович Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 608 с.: илл.
7. Сборник задач по высшей математике. 1 курс [Текст]: сборник задач / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин [и др.]. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576 с.: илл.
Розв’язок типового варіанта.
1. Знайти границю: 
.
При х=2 чисельник і займенник дробу перетворюється в нуль, отже ми маємо невизначеність типу 
.
Перетворимо дріб таким чином, щоб мати можливість скоротати множники, які дають невизначеність.
Після скорочення отримали дріб, який визначений у точці. Підставивши у цей дріб х=2 отримали границю –1.
2. Знайти границю: 
.
У цьому випадку теж отримаємо невизначеність типу .
Перетворимо функцію, знищивши ірраціональність у чисельнику помноживши на спряжений вираз:
3. Знайти границю: 
.
Тут ми маємо невизначеність типу 
. Поділивши чисельник і знаменник на 
, маємо:
4. Знайти границю: 
.
Тут ми маємо невизначеність типу 
. Перетворимо функцію в дріб таким чином, щоб отримати :
, потім замінимо tg 8х еквівалентною нескінченно малою функцією 8х і отримаємо 
.
5. Знайти границю: 
.
замінивши arcsin 5х еквівалентною нескінченно малою функцією 5х отримаємо
.
6. Знайти границю: 
.
Тут ми маємо невизначеність типу 
. Помножимо та поділимо вираз на спряжений:
.
7. Знайти границю: 
.
Шляхом перетворень зводимо до другої визначеної границі 
.
8. Знайти границю: 
.
Маємо невизначеність типу , застосовуємо правило Лопиталя:
.
знову отримали невизначеність типу , застосовуємо правило Лопиталя ще два рази: 
.
9. Знайти границю: 
.
Розглянемо невизначеність типу 
. Нехай 
, логарифмуємо обидві частини рівняння:
Тоді 
. Отримали невизначеність типу , застосовуємо правило Лопиталя:
, таким чином 
та 
.
| В-нт | |||
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
| |
а) 
| б) 
| в) 
|
