Уравнение для собственных функций оператора

Локализация

Точность локализации (задание x) обратна неопределённости импульса ( p_x), чем, кстати, объясняется ущербность понятия “траектория”.

Неопределённость энергии

Разные подходы:

1. При t – длительность самого измерения, ℇ увязывают с неопределённостью зафиксированной энергии.

2. Если t – временная неопределённость изменения физических величин объекта в замкнутой системе, тогда ℇ - неопределённость распределения энергии между частями конечного стационарного состояния. Отсюда следует неопределённость значений для энергетических уровней.

Не исключается и иные фундаментальные выводы.

§ 1.4 Основы математического аппарата К.Ф.

1.4.1. Пси-функция

Описание объекта посредством т.н. волновой “пси-функции”.

ψ(r,t) – однозначная и непрерывная функция координат, времени и некоторых других параметров.

Физический смысл ψ(r,t) следует из условия:

dw = ψ ψ^* d ³ r,

где d ³ r = dx·dy·dz.

Из равенства полной вероятности достоверного события единице следует условие её нормировки:

= d ³ r = 1 (1.4)

Для свободной частицы (1.4) приводит к расходимости, что трактуют как равенство вероятностей для локализации в любом состоянии.

1.4.2. Суперпозиция состояний и волн де Бройля.

Часто в одних условиях объект находится в разных состояниях (неодинаковы ψ – функции и значения их характеризующих величин).

Если ψ₁ и ψ₂ - две таких функции, описывающие систему (частицу) в отличных состояниях, то найдётся

Ψ = а₁ ψ₁ + а₂ ψ₂,

описывающая систему в обоих состояниях сразу. Причём │ а₁ │²и │ а₁₂ │²

определяют вероятность пребывания в каждом из них. В более полном случае

Ψ =

Заметим, что волну де Бройля можно представить в виде суперпозиции гармонических волн (в виде ряда или интеграла, как в оптике).

Существенно для системы из двух невзаимодействующих систем, что если

Ψ_1,2(, ) = ψ₁( ψ₂²(,

то │Ψ_1,2(, ) │²= │ψ₁( ₁)│² ·│ψ₂( ₂)│²

в силу независимости вероятностей.

1.4.3. Вычисление средних. Операторы

Средние значения физ. величин, измеряемых в опытах, находят с использованием математических операторов, преобразующих ψ – функции, включающие указанные величины, по определённым правилам. Основа нахождения средних диктуется наличием функции плотности вероятности, т.е. квадрата модуля волновой функции │ ψ │².

Общее обозначение оператора физ. величины f есть - . Во многих случаях действие оператора сводится к дифференцированию, а иногда, просто к умножению на преобразуемую функцию. В результате возникает новая величина f – называемая собственным значением оператора.

ψ = f ψ.

При определении среднего интегрирование по всему пространству обеспечивает независимость от координат:

f = ) d ³ r

Уравнение для собственных функций оператора

Если в состоянии ψ_n физ. величина f имеет одно значение f_n и имеем , тогда неизбежно выполняется

ψ_n = f_n ψ_n.

Говорят о собственных функциях и собств. значениях оператора.

Для среднего

f = ψ_n d ³ r = f_n

Часто у оператора в заданном интервале имеется спектр (набор избранных) собств. функций и соответственно собственных значений оператора.

1.4.4. Операторы некоторых ф. величин

1. Оператор скалярной функции координат равен самой функции

() φ()

Примеры: координата, радиус-вектор, потенциальная энергия.

2. Оператор проекции импульса и вектора импульса

При свободном движении частицы вдоль оси х оператором величины p_x является _x = - jħ , если ψ_p (x) = A ⁾ – волна де Бройля.

_x ψ_p (x) = p_x ψ_p (x)

Для вектора импульса соответственно:

= - jħ = - jħ ( _x + _y + _z).

3. Оператор кинетической и полной энергии частицы

Имеем: ℇ_к = = + +

Т.к. ² ψ = - ħ² ψ = ψ

Тогда: = - [ + + ] = - =

Во внешнем поле

+ (r) = = - + (r)

Уравнение для получения собственных значений

ψ = ℇ ψ

Гл. 2 Уравнение Шредингера и его приложения

§ 2.1 Квантовое нерелятивистское уравнение движения

2.1.1. Временное уравнение

Задача заключается в нахождении уравнения, позволяющего определять не только ψ в момент t_o, но и в последующий момент: ψ(t)

Шредингер предложил ур-е:

j ħ =- + П ψ(x,t) (2.1, а)

для одномерного случая и

j ħ =- + П ψ( ,t) (2.1)

для трёхмерного случая. Оно похоже на волновое при П(, t) = 0, причём здесь первая производная по времени.

ψ( ,t) – лишь математический способ описания дл нахождения вероятностей и физических величин.

2.1.2. Стационарное уравнение

В консервативном поле энергия частицы остаётся неизменной и потенц. энергия зависит только от координат - П(), что позволяет взять пси функцию в виде волн де Бройля с ℇ = const

ψ(r,t) = ψ()· (*)

(Сомножитель с одинаковыми ℇ выносится за знак суммы)

Подставляя в (2.1) и сокращая, получают:

- +(ℇ - П) ψ( ,t) = 0 (2.2)

Оно описывает состояния, называемые стационарными.

Отметим для них:

1). Временная часть (*) является гармонической ( = ω),

2). Вероятность местоположения не зависит от времени (│ψ│² = const)

3). Уравнение (2.2) является ур. для собственных функций энергии.

§ 2.2 Общие свойства решений

2.2.1. Условия, накладываемые на пси-функции

Уравнение дифференциальное (!). Нужно из всех возможных решений выбрать те, которые удовлетворят физическому смыслу.

Общие свойства следующие:

1. ψ() – однозначная и непрерывная функция координат.

2. ψ() – конечна или где-то равна нулю. │ψ│²

3. Сама ψ() и её производные должны быть непрерывны. Это даже вытекает из самого ур-я.

Условия называются стандартными.

Методика решения (2.2) исходит из вида П(): желательно использование простых зависимостей, что достигается разделением интервала значений на характерные участки интегрирования (оно неизбежно). Подбор постоянных интегрирования также важный момент.

Значения функций и их производных на границах этих участков обязаны совпадать (сшиваться):

Например: ψ_I(l)│ _l-0 = ψ_II(l)│ _l+0

()_I│ _l-0 =()_II│ _l+0

Наконец, оставляем те ψ, которые ведут себя на выделенном участке хорошо при r .

Используем условие нормировки, чтобы получать разумные │ψ│².

d ³ r = 1

Тем самым определяется амплитудный коэффициент при ψ.

§ 2.3 Свободное движение частиц

Плоская волна де Бройля вдоль оси ОХ:

ψ_p (x) = A ⁾

Здесь ℇ ничем не ограничено (любое положительное), │ψ_р│²= const

т.к. все точки эквивалентны. Уравнение Шр. для такого движения при

П(х) =0 приобретает вид:

+ ℇ ψ = 0 (2.3)

Или

+ k² ψ =0 (2.3, a)

Его общее решение

ψ = Аe ^jkx + Вe ^{– jkx} (2.4)

Здесь k² = ℇ Þ ℇ = =

Иначе, стационарное решение

ψ = Аe ^jpx ^/ ^ℏ + Вe ^{- jpx /} ^ℏ (2.4, a)

Если принять, что частица движется слева направо и положить В = 0, то выходим на совпадение с выражением для волны де Бройля. Спектр значений для ℇ является непрерывным пока движение не ограничено замкнутостью объёма. Доступное значение ℇ всегда больше П _min. Состояния с ℇ 0 соответствуют локализации частицы.

§2.4 Потенциальный барьер

Если на зависимости П(x) в силовом поле имеется перепад (см рис.), то на частицу, двигающуюся вдоль оси ОХ действует сила. Говорят о потенциальном барьере. Сила F = - для налетающей слева – направо частицы с кин. энергией ℇ тормозит частицу в классическом понимании и в точке x=x_o она отразится от барьера (точка поворота).

Для случая ступенчатого барьера F .

2.4.1 Ступенчатый барьер конечной высоты

Пусть П(х) =0 в области I и П(х) = П_о в области II.

Случай ℇ П_о

Квантовое решение задачи с использованием ур. Ш. даёт новые, принципиальные результаты:

В области I (x ), имеем, как и для свободной частицы две волны – падающую и отражённую:

Ψ_I = Аe ^jkx + Вe ^{– jkx}

Их суперпозиция – стоячая волна. Плотность вероятности испытывает осцилляции - интерференционный эффект. В классике этого быть не может.

В области II (x

+ (ℇ - П_о) ψ =0 (2.5)

Или:

– δ² ψ = 0, где δ =

Его решение:

Ψ_II = Сe ^{- δ x}+ De ^{δ x}(2.6)

Реальному физическому смыслу отвечает только условие D = 0.

Используя условия для ψ на границе областей можно получить:

A = , B = 1, C =

Видно, что

1) ψ – функция определяется значением ℇ;

2) можно убедиться, что Ψ_I представляет стоячую волну.

Ψ_I = G cos (kx + φ), где G и φ – постоянные.

Падающая волна отражается от барьера, однако частица с неравной нулю вероятностью может быть обнаружена в области x .

Коэфф. отражения определяют как

R = = │ │²,

где α₁ = │Ψ_I_,пад│² и α₂ = │Ψ_II_,отр│²

По мере роста высоты барьера Ψ_II → 0 и частица с меньшей вероятностью проникает в область II.

Случай П_о ℇ

Частица совершает над барьерное движение

Ψ_II = e ^{– j} ^ℜ^x Здесь ℜ =

R = ()² 1

В месте разрыва непрерывности потенциала всегда происходит частичное отражение и частичное проникновение в область за разрывом.

2.4.2.. Прямоугольный барьер. Туннельный эффект

Три области (см. рис.)

Область I (П=0)

Получим: Ψ_I = e ^{– jkx} + Be ^jkx,

где В определяет амплитуду отражённой волны, k = .

Область II (П_о )

Внутри барьера волна затухает

Ψ_II De ^{– δ x}, δ = (2.7)

Повторным отражением в точке а можно в принципе пренебречь.

Область III (П=0)

Здесь существует бегущая волна

Ψ_III De ^{– δ a} e ^{– jkx}

Вводят коэфф. пропускания барьера Т:

Т = = e ^{– 2δ a} = exp (-2 a ), (2.8)

т. к. знаменатель принимается равным 1. Прохождение частицы через барьер носит название туннельного эффекта.

§ 2.5 Частица в потенциальном ящике

(яме с бесконечно высокими стенками)

Три области по оси ОХ. В обл. I и III П_о → , в II потенц. э. П=0.

Стационарное ур. Ш. сходно в обл. II со случаем свободного движения.

В интервале 0 х а

ψ (х) = Аe ^jkx + Вe ^{– jkx}

Условия на границе x =0 дают: А + В = 0 Þ А = В, что обеспечит возникновение стоячей волны

ψ (х) = А_о sin kx. Здесь k = .

При x =a обязано быть А_о sin kа= 0, или ak =n π, n= 1, 2, 3…

Подставляя k получают вид функции и избранные значения энергии

Ψ_n (х) = А_о sin x (2.9)

ℇ _n = = – э. дискретна, n – квантовое число.

Амплитуда находится из условия нормировки и одинакова А_о =

Вид функции Ψ_n (х) разных состояний и плотностей вероятности приведен на рис.

Самостоятельно ознакомьтесь с трёхмерной ямой и пологим барьером.

Гл. 3 КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. МОМЕНТ

ИМПУЛЬСА.

§ 3.1 Гармонический осциллятор

Электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность некоторых осцилляторов. В этой связи рассмотрим квантование движения одномерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией

П(x) = = m ,

где ω _o = .

Стационарное уравение Шр. имеет вид:

+ (ℇ - m ) ψ =0

В этом случае при ℇ > П(х) решение представляет осциллирующую стоячую волну. В основном состоянии ψ(х,t) не имеет узлов, а в каждом последующем число их растёт на единицу.

За пределами классических точек поворота x_n = функция ψ_n убывает по экспоненте и решение ищут в виде функции Гаусса.

Опуская детали, отметим не выходя на полиномы Эрмита:

энергия состояний осциллятора квантована

ℇ _n = (n+ ) ħ ω_о, n = 0, 1, 2, …

Уровни эквидистантны и при n = 0 энергия конечна и не равна нулю. Её называют энергией нулевых колебаний. Эти результаты присущи только квантовому решению и играют выдающуюся роль (при квантовании электро-магнитного поля).

§ 3.2 Момент импульса в квантовой физике

3.2.1. Особенности задания м.и.

При движении в трёх измерениях важнейшей величиной оказывается момент импульса

= [ ]

Для электрона в атоме, испытывающего вращение и смещения, эта характеристика незаменима.

Эта величина сохраняется при движении в центрально симметричном поле или в изолированной системе.

В класс. механике собственным моментом может обладать только система частиц, в квантовой он присущ и отдельным частицам.

Собственный момент частицы называют спином и он - важнейшее её свойство.

Момент импульса квантовой частицы не может быть задан с одновременным определением всех трёх проекций типа L_x (следствие соотношения неопределённостей Гейзенберга). Обычно задают одну из них - L_z и модуль вектора │ │. Наглядность выбора более понятна при использовании цилиндрической системы координат. В них:

L_z = ρ p _φ; L_x = y p _z = ρ sin φ· p _z; L_y = - xp _z = ρ cos φ· p _z

L = ρ

3.2.2. Квантование момента импульса

Выясним спектр собственных (доступных) значений для стационарных состояний. Сама ψ(r,t) должна одновременно удовлетворять двум уравнениям на собст. значения

_z ψ = L_z ψ (3.1)

² ψ = L² ψ (3.2)

Решения дают зависимость ψ от угловых переменных в состояниях

= const.

_z = ρ _φ = - jℏ ρ = - jℏ

Общим решением является

ψ(r, θ) = А(r, θ) e^(Lz·φ/ ^ℏ ⁾ = A exp(jm_L φ)

Оно имеет вид бегущей волны де Бройля, где можно полагать p _φ = ℏ k _φ

Во-первых

ψ (φ + 2 π) = ψ (φ),

Во-вторых

L_z = m _ℓℏ, где m _ℓ m_L = 0, 1, 2, 3… - квантовое число

│ m _ℓ │ l

Спектр значений его: - ℓ, - ℓ +1, - ℓ +2… -1, 0, +1, …. ℓ -1, ℓ

всего 2 ℓ +1 зачений.

§ 3.3 Квадрат орбитального м.и. (3.3.1.) Результирующий момент

3.3.1. Квадрат м.и.

Решение (3.2) является сложной процедурой. Обсудим следствия.

Поскольку L² и L_z могут заданы одновременно, они соответственно должны определяться через квантовое число ℓ. Т.к. L_z ²_max. = ℏ ² ℓ ², то разумно положить, в силу того, что ℓ целое

L² = ℏ ² ℓ(ℓ +1) (3.3),

ℓ = 0, 1, 2…, см. рис.

Квантовое число ℓ называют орбитальным. Оно определяет все угловые хар-ки движения, в том числе и L_z.

По определению: L² = L² и L _x² = L _y² = L _z²

3.3.2 Сложение моментов и.

Нужно учесть, что результирующий (суммарный) м.и. находится из векторного сложения _i. Для модуля итогового вектора по-прежнему

L =ℏ и L _z =ℏM _z

L – квантовое число результирующего момента при заданных числах ℓ ₁, ℓ ₂, ℓ ₃,… Для определения L достаточно знать L _max и L _min. В этом случае

L_max = . Для двух частиц L_max = ℓ ₁+ ℓ ₂ L_min = │ ℓ ₁- ℓ ₂ │.

L может принимать такие значения:

ℓ ₁+ ℓ ₂, ℓ ₁+ ℓ ₂-1, ℓ ₁+ ℓ ₂- 2, …., │ ℓ ₁- ℓ ₂ │

всего 2 ℓ _m +1 значений, где l_m меньшее из двух ℓ ₁ и ℓ ₂.

§ 3.4 Орбитальный магнитный момент (3.4.1). Спин микрочастиц (3.4.2)

3.4.1.

Из класс. физики известна связь орбитального момента импульса и магнитного момента

_m = g = , где g – т.н. гиромагнитное отношение.

Тогда с учётом квантования и установленных соотношений для проекции магнитного момента имеем:

_mz = - L _z = - m _ℓ ℏ = μ_Б m _ℓ

Величину μ_Б назвают магнетоном Бора, это квант магнитного момента микрочастиц

μ_Б =

Поэтому квантовое число m _ℓ называют магнитным.

3.4.2 Спин частиц

Спин – собственный механический момент импульса частицы или системы ч.

Обозначают . Открыт Уленбеком и Гаудсмитом.

Доступные значения спина определяются так:

│ │ = ℏ , S_z = ℏ m_s

Под корнем маленькое s – квантовое число или просто спин.

- s s

Так s = для: электрона, протона, нейтрона

Для фотона s = 1, для мезонов s = 0.

Спин характеризует некоторую неизменную внутреннюю симметрию частиц данного сорта. Проекцию спина на ось z определяет .

Cо спином связан собственный магнитный момент частиц:

μ_z = - .

Отношение магнитного и соответствующего механического моментов в случае спина вдвое больше, чем для орбитального:

(μ_z / S_z): (p_m / L _z) =2

Релятивистское волновое уравнение приводит к появлению спина естественным путём. Сделаны опыты (Эйнштейн- де Хаас), подтвердившие приведенные положения. Спиновая переменная – важнейший параметр для

волновой функции ψ( ,s,t).

Частицы с полуцелым спином называют фермионами, а с целым – бозонами.

Первые подчиняются принципу Паули: в состояниях с одинаковой энергией не может находится более двух одинаковых частиц, однако их спины противоположны (разного знака).

Говорят о тождественности квантовых частиц. Пространственная перестановка их местами (скажем, есть отличие в значении спина) не изменяет квадрат модуля волновой функции.

Свойство

ψ(ξ₁, ξ ₂) = + ψ (ξ₂, ξ ₁) - определяет симметричную функцию

ψ (ξ₁, ξ ₂) = - ψ(ξ₂, ξ ₁) - определяет антисимметричную функцию

Частицы с полуцелым спином описываются антисимметричными функциями.

Гл.4 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ АТОМОВ И ИОНОВ

Это очередной шаг к более сложным системам.

§ 4.1 Водородоподобные атомы. Постановка задачи

Полезно т.н. одноэлектронное приближение – избранный электрон и остаток = ядро + усреднённое облако остальных электронов.

1. Учитывают, что приведенная масса электрона близка к его истинной массе.

2. Электрон не является релятивистским, т.е. применимо стационарное ур. Шр.

3. Основным является электростатическое (кулоновское) взаимодействие с ядром

П () = - k , где k =

4. Спин не следует из решения.

§ 4.2 Уравнение Шредингера и анализ решения

4.2.1 Решение ур- я

ψ = ℇ ψ

- ψ - k ψ = ℇ ψ

В сферической системе координат ψ() = ψ(r, θ, φ)

Если рассматривать кин. энергию как сумму эн. радиального движения и вращательного движений, то упрощаем решение

ℇ_к = ℇ_п + ℇ_вр = +

Имеем:

[ℇ_п + + П (r)] ψ = ℇ ψ

Т.к. L сохраняющаяся величина в силу ур. (3.2)

² ψ = ℏ ² ℓ(ℓ +1) ψ

Тем самым, угловая зависимость уже заложена, а зависимость от радиуса её следует установить. Полагаем

Ψ = ℜ (r) Y(θ, φ)

Для радиальной волновой функции получим

- ( ) + [ - k ]ℜ = 0 (4.1)

Здесь первая часть формулы – результат применения лапласиана и потенциал наш уже некий эффективный (квадратная скобка).

Конечные и однозначные решения получаются при дискретных ℇ 0, равных

ℇ_n =- = - ,

ℇ_n = - , (4.2)

где - некая постоянная (название связывают с Ридбергом), n – главное квантовое число, n_r = 0,1, 2, 3 – радиальное квантовое число (не в ходу оно).

При заданном n энергия от n_r и ℓ не зависит, а магнитное кв. число m _ℓ не появляется.

Поскольку при заданном n состояния по ℓ, разные но с одной энергией, их называют вырожденными. У орбитального числа всего n значений

ℓ = 0, 1, 2, …, n – 1

С учётом введения состояний с разными m _ℓ

m _ℓ = - ℓ, - ℓ+1, - ℓ +2, … -1, 0, +1, +2,…, ℓ-1, ℓ,

полная кратность вырождения равна n ². Более того, она удвоится, когда вспомним о спине: всего 2 n ² состояний по энергии при заданном n, а это число может изменяться от 1 до бесконечности.

4.2.2 Диаграмма энергетических уровней атома водорода

Набор значений энергии при Z =1 легко получить, исходя из того, что

= 13,6 эВ (см. рис.).

Однако, она может усложнится и стать нагляднее, если отложить уровни с привязкой к состояниям по ℓ:

ℓ = 0, s - состояние

ℓ = 1, p- состояние

ℓ = 2, d - состояние

ℓ = 3, f - состояние

ℓ = 3, g – состояние

........

Для каждой «чёрточки» такое расщепление можно устроить по m _ℓ и m _s.

§ 4.3 «Радиальное уравнение» и волновые функции

4.3.1 Анализ радиального уравнения

Уравнение (4.1) при n =1 и ℓ = 0 имеет вид:

- [ + ] – (ℇ₁ + k ) = 0, (4.3)

Где обозначено ℜ₁₀

Решением может быть простая экспонента, поскольку при r →0 второе и четвёртое слагаемые стремятся к нулю.

= A₁ exp[- (r/ a_o)]

Ур. (4.3) станет тождеством, если:

a _o = - т.н. боровский радиус,

ℇ₁= - = - - энергия основного уровня электрона.

→0 при r →0 и не имеет узлов.

С другой стороны в классическом понимании движение здесь – качание маятника относительно силового центра. Необычный результат.

4.3.2 Волновые функции состояний (орбитали)

Для n =2, ℓ =0

= A₂ (1- r/2 a_o) exp[- (r/2 a_o)]

Эта функция уже имеет один узел.

При ℓ 0 появляется угловая зависимость.

Так, при n = 2 и ℓ = 1, m _ℓ = 0 выражениe для орбитали таково:

= A₂_,₁ ·(r/ a_o) exp[- (r/2 a_o)]· cos θ

При n = 2 и ℓ = 1, m _ℓ = следующие орбитали:

= A₂_,₁_,1 ·(r/ a_o) exp[- (r/2 a_o)]· sin θ ·

Число узлов по радиусу остаётся прежним, но возникает один узел по углу.

Вероятность обнаружения электрона даётся выражением

dw = │ψ│² 4 r² ·dr

См. на рис. изменения вероятности с расстоянием.

§ 4.4 Многоэлектронные атомы

4.4.1 Общие особенности

Качественные рассуждения уже могут дать полезные выводы.

Заметим, что:

а) Только два электрона могут описываться одной орбиталью, чтобы удовлетворялся принцип Паули;

б) электроны-соседи влияют друг на друга; имеет место экранирования ядра.

В последнем случае вводится эфф. заряд ядра Z_eff _. Z

Водород (Z =1 )

Единственный электрон в состоянии 1s, потенциал ионизации 13,6 эВ, наличие спина мало сказывается в первом приближении. Тонкая структура возбуждённых уровней обуславливается взаимодействием собственных магнитных спинового и орбитального моментов (появятся дублеты).

Гелий (Z =2 )

В случае одного электрона, т.е. для иона, «работает» модель водороподобного атома

Энергия ионизации

ℇ_и = - =13,6 · = 54 эВ,

что близко к опытным данным.

В атоме гелия электроны как бы видят ядро с зарядом Z* Z_eff = Z - σ, где

σ = у них одинаковая орбиталь, волновая функция при n = 2 имеет один узел.

Оболочка из двух электронов замкнутая.

Литий (Z =3 )

Эффективный заряд σ = 1,25. Третий электрон относительно слабо связан с ядром, его называют валентным. Его основное состояние 2s. Все состояния с одинаковыми n и ℓ называются подоболочкой. Третий электрон попадает в p - состояние.В принципе, в р – состоянии может находится 2(2ℓ +1)= 6 электронов. Их общее число в оболочке n =2 не более

2 +6 = 8.

Список можно продолжить. Картина будет усложняться, а главное необходимо вводить квантовые числа для атомной системы с большим числом электронов.

4.3.2 Диаграммы переходов и правила отбора

Важно, что при излучении (поглощении),связанном с квантовыми переходами, долен выполняться закон сохранения импульса наряду с законом сохр. энергии.

Правила отбора состоят в том, что переходы разрешены при

ℓ = 1

В многоэлектронных атомах также

L = 1 и S =0. Значения суммарного момента импульса J изменяются на единицу: J = 1, переходы между состояниями с J = 0 запрещены. Есть особые отклонения, их детализировать сйчас не будем.

ψ(r,t) f f_n _x ()_I│ _l-0 =()_II│ _l+0 │ψ│²