Плоское напряженное состояние. Среди множества площадок, проходящих через точку тела, всегда можно провести три взаимно перпендикулярные площадки

Среди множества площадок, проходящих через точку тела, всегда можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряжения на которых будут равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют, называются главными, а действующие на этих площадках нормальные напряжения ¾ главными нормальными напряжениями.

Направления нормалей к этим площадкам называются главными направлениями или главными осями. Докажем существование главных площадок и их ортогональность.

Пусть наклонная площадка является главной. При этом полное напряжение на площадке совпадет с нормальным напряжением , а касательное напряжение . Проекции полного напряжения на оси координат будут

 

, , , (4.14)

 

где l, m, n — направляющие косинусы нормали к площадке.

Подставляя (4.14) в (4.9) и проводя преобразования, получаем

 

(4.15)

Основными неизвестными в системе линейных, однородных алгебраических уравнений (4.15) являются направляющие косинусы l, m, n; они не могут быть одновременно равны нулю, так как связаны соотношением (4.5). Поэтому для существования ненулевых решений определитель системы (4.15) должен быть равен нулю

 

. (4.16)

 

Раскрывая определитель (4.16), приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

 

, (4.17)

 

где ,

 

(4.18)

 

.

 

Уравнение (4.17) называется характеристическим уравнением напряженного состояния. Коэффициенты называются инвариантами тензора напряжений, т. е. не зависящими от выбора системы координат. Решение кубического уравнения (4.17) в общем случае имеет три вещественных корня , при них (как указывалось ранее) индексы надо расставлять так, чтобы выполнялось неравенство: . Понимать это равенство надо в алгебраическом смысле.

Каждому значению главного напряжения соответствует вектор нормали , характеризующий положение i -ой главной площадки с направляющими косинусами . Эти компоненты находятся подстановкой найденного значения в любые два уравнения системы (4.15) и дальнейшим их решением совместно с условием нормировки .

Таким образом, в самом общем случае вектор полного напряжения p_ν в рассматриваемой точке тела может занимать произвольное положение, а геометрическое место концов вектора в пространстве образует эллипсоид напряжений (рис. 4.5), полуосями которого являются главные напряжения . Очевидно, что при произвольном направлении вектора p_ν его проекции на полуоси главных напряжений принимают промежуточные значения.

Из данного геометрического образа вытекает следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных полных напряжений p_ν на множестве площадок, проходящих через заданную точку тела. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид приобретает форму тела вращения, тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения, становится главной. Если же равны все три главных напряжения, то эллипсоид трансформируется в сферу и в исследуемой точке все секущие плоскости являются главными.

 

 

Рис. 4.5. Эллипсоид напряжений

 

Плоское напряженное состояние

В случае плоского напряженного состояния равными нулю будут также коэффициент и один из корней характеристического уравнения (4.17), то есть одно из главных напряжений обращается в нуль. При этом уравнение (4.17) перейдет в следующее

 

, (4.19)

 

корни которого определяются равенствами

 

. (4.20)

 

В случае линейного напряженного состояния два главных напряжения будут равны нулю, т. е. в уравнении (4.14) коэффициенты .

Главные напряжения обладают важным свойством: нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения.

Теперь докажем ортогональность главных площадок. Сначала это сделаем для первой и второй главных площадок. Пусть направляющие косинусы первой главной площадки будут , а второй - . Выпишем уравнения (4.15) для первой и второй главных площадок в виде

 

(4.21)

, .

Далее поступим следующим образом. Умножим уравнения (4.21) первой группы соответственно на , а уравнения второй группы - на , а затем сложим все уравнения первой группы и отдельно второй. Вычитая из первой суммы вторую, получаем

 

. (4.22)

 

Из анализа уравнения (4.22) видно, что при

.

Последнее равенство и есть условие ортогональности первой и второй главных площадок. Аналогично доказывается ортогональность других главных площадок.

Напряжения на косых площадках при плоском напряженном состоянии

Рассмотрим напряженное состояние пластинки толщиной , находящейся под действием сил Р, лежащих в плоскости пластинки (рис. 4.6). Будем считать, что под действием внешних сил пластинка находится в плоском напряженном состоянии, значит . В выделенном элементе пластинки напряжения , и лежат в одной плоскости, поэтому напряженное состояние и называется плоским.

Пусть заданы напряжения на площадках и элемента ABC. Надо определить нормальные напряжения и касательные на площадке BC, нормаль к которой составляет угол с осью x. Массовыми силами, действующими на элемент ABC, пренебрегаем.

В случае плоского напряженного состояния тензор напряжений примет вид

 

.

Рис. 4.6. К определению напряжений на косых площадках

 

Величины и определим из условия равновесия элемента ABC, составив соответствующие уравнения в проекциях на оси и . Опуская промежуточные математические выкладки, окончательно получим

, (4.23)

. (4.24)

Если аналогично вычислить напряжения на площадке, нормаль к которой r перпендикулярна вектору нормали , то получим

 

, (4.25)

. (4.26)

Полученные формулы позволяют выявить важные закономерности. Так, складывая (4.23) и (4.25), имеем

. (4.27)

Видно, что сумма нормальных напряжений на произвольных взаимно перпендикулярных площадках при их повороте не меняется.

Сопоставляя (4.24) и (4.26), видим

, (4.28)

т. е. касательные напряжения, действующие на произвольных взаимно перпендикулярных площадках, подчиняются закону парности.

Положение главных площадок (касательные напряжения равны нулю) можно найти из (4.24) или (4.26), полагая или , следовательно

, (4.29)

где — угол, который составляет нормаль или главной площадки с осью .

Можно показать, что при заданных значениях , и на некоторых известных взаимно перпендикулярных площадках, нормальные напряжения на главных площадках определяются соотношением (см. формулу (4.20))

 

. (4.30)

Обратная задача - если известны главные напряжения , то формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид

,

, (4.31)

.