Расчет средних значений числа частиц, выборочной дисперсии и дисперсии выборочного среднего

Приложение к лабораторной работе 5.2

Для иллюстрации необходимых расчетов используются результаты реально проведенных подсчетов числа броуновских частиц на двух уровнях, отстоящих по высоте на 4 мкм.

Уровень 1 (подсчет числа частиц с интервалом 10 с)

3 1 1 0 4 0 3 1 1 0 1 2 1 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 0 0 2

Всего измерений: 26

Запишем результаты измерений в виде следующей таблицы:

	Число раз

Расчет выборочного среднего (т.е. среднего арифметического по данной выборке):

Расчет среднеквадратичного отклонения (выборочной дисперсии) :

Представим результаты измерений в виде диаграммы (см. рис. 1). Пунктирная кривая характеризует распределение вероятностей значений случайной величины в данной выборке. Для большинства выборок такая кривая имеет колоколообразный вид с максимумом вблизи среднего арифметического значения , но бывают и выборки, дающие «двугорбые» кривые. Среднеквадратичное отклонение характеризует ширину этой кривой. Если бы число измерений было очень велико (), то кривая распределения вероятностей имела бы симметричный вид, а выборочная дисперсия стремилась бы к постоянному пределу , который называется дисперсией генеральной (т.е. содержащей бесконечное число отсчетов) выборки: . Дисперсия характеризует ширину кривой. Она не зависит от числа измерений – увеличивая число измерений, мы лишь уточняем ее значение.

Согласно теории вероятностей, значения случайной величины в 68% случаев лежат в интервале , в 95% случаев – в интервале , в 99,7% случаев – в интервале .

Таким образом, дисперсия определяет ожидаемое отклонение отдельного измерения от среднего значения, поэтому ее называют также стандартным отклонением.

На основе конечной выборки мы не можем узнать точного значения , но можно считать ее примерно равной среднеквадратичному отклонению (выборочной дисперсии) . В нашем примере на первом уровне

.

На рис. 1 указан интервал , т.е. . В этот интервал попадают значения – 16 случаев из 26, т.е. 62%. В интервал попадают значения – 25 случаев из 26, т.е. 96%. В интервал попадает 100% отсчетов. Эти значения хорошо согласуются с теорией вероятностей.

Расчет дисперсии выборочного среднего.

Если бы число измерений было очень велико, мы могли бы точно определить истинное среднее значение случайной величины. По конечной выборке мы можем предсказать ожидаемое отклонение выборочного среднего от истинного. Согласно теории вероятностей, оно характеризуется дисперсией выборочного среднего

.

С вероятностью 68% истинное среднее отличается от выборочного среднего не больше чем на . При увеличении числа измерений n дисперсия выборочного среднего стремится к нулю, т.е. мы можем узнать истинное среднее с любой требуемой точностью, выполнив достаточное число измерений.

В нашем примере погрешность среднего

.

Итак, на первом уровне для истинного среднего можно записать:

 

Уровень 2 (подсчет числа частиц с интервалом 10 с).

2 3 4 3 4 3 1 0 3 3 4 4 0 1 3 2 2 2 4 2 5 1 2 3 2 2 1

Всего измерений: 27

Запишем результаты измерений в виде следующей таблицы:

	Число раз

Расчет выборочного среднего:

Расчет среднеквадратичного отклонения (выборочной дисперсии) :

.

Результаты измерений представлены на диаграмме рис. 2.

В интервал , т.е. попадают значения – 15 случаев из 27, т.е. 68%. В интервал попадают значения – 100% случаев. Эти значения хорошо согласуются с теорией вероятностей.

Расчет дисперсии выборочного среднего.

.

Итак, на втором уровне для истинного среднего можно записать: