Задачи для самостоятельного решения. Определённый интеграл.

Определённый интеграл.

Пусть на отрезке [ a; b ], (всюду ) определена непрерывная ограниченная функция f (x). Произвольным образом разобьем отрезок [ a; b ] на n отрезков точками . . Полученные отрезки , ,…, будем называть частичными. Длину k -го частичного отрезка , , обозначим . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку , (рис. 1) и вычислим значение функции в этой точке, т. е. .

Рис.1

Для каждого k, , найдём произведение и составим сумму:

(1)

Сумма (1) называется интегральной суммой функции f (x) на отрезке [ a; b ].

Определённым интегралом от функции f(x) в промежутке [ a; b ] называется предел её интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [ a; b ] – отрезком интегрирования.

Функция f (x), для которой существует предел интегральной суммы, называется интегрируемой на отрезке.

Классы интегрируемых функций:

1) непрерывная на отрезке [ a; b ] функция интегрируема;

2) ограниченная на отрезке [ a; b ] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема;

3) монотонная ограниченная функция интегрируема.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Определённый интеграл. Стр. 1

Свойства определенного интеграла.

1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: .

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак: .

4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула: .

5. свойство линейности: .

Вычисление определённого интеграла.

1. Формула Ньютона – Лейбница: , где F(x) – первообразная для f(x).

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. .

2. Замена переменной: пусть f (x) – непрерывная на отрезке [ a; b ] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке , где , . Тогда справедлива формула: .

Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Используем метод замены переменной. Положим . Тогда .

Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если , то ; если , то .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Определённый интеграл. Стр. 2

Получим: = .

3. Интегрирование по частям: пусть u (x) и v (x) – непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [ a; b ]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: .