Задание 25 № 340243. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.

Решение.

Углы и равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, следовательно, эти треугольники подобны.

Задание 25 № 315030. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.

Решение.

Треугольник — равносторонний, точки — середины сторон, следовательно:

Также углы , и равны между собой, поскольку треугольник — равносторонний.

Рассмотрим треугольники , и они имеют по паре равных сторон, а также равный угол между этими сторонами, следовательно эти треугольники равны. Заметим, также, что эти треугольники равнобедренные и угол при вершине равен 60°, следовательно углы при основаниях равны: то есть все углы в этих треугольниках равны 60°, значит, эти треугольники равносторонние. Поэтому то есть — ромб.

Задание 25 № 340297. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.

Решение.

Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. Проведём медиану Стороны и равны как радиусы окружности, поэтому треугольник — равнобедренный, следовательно, медиана является также высотой. прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно они параллельны. Эти прямые проходят через одну и ту же точку значит, они совпадают. Таким образом прямая перпендикулярна прямой

Задание 25 № 315039. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.

Рассмотрим маленькие треугольники и , следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно

Любой угол правильного шестиугольника равен Треугольники и — равнобедренные, углы при основаниях равны Рассмотрим развёрнутый угол

Аналогично все остальные углы шестиугольника равны следовательно шестиугольник — правильный

Задание 25 № 340321. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Решение.

Проведём высоту через точку Поскольку — средняя линия, Отрезки и равны, следовательно, по теореме Фаллеса, Площадь треугольника равна Площадь треугольника равна Найдём сумму площадей этих треугольников:

Задание 26 № 340323. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём прямую параллельную Прямая — касательная к обеим окружностям поэтому радиусы и перпендикулярны прямой откуда заключаем, что откуда Рассмотрим четырёхугольник следовательно, — параллелограмм, откуда Значит, Также заметим, что Углы и равны, как соответственные углы при параллельных прямых. Из треугольника

Из треугольника Из треугольника Таким образом, получаем, что искомое расстояние:

Ответ: 80.

Задание 25 № 340324. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Задание 26 № 340325. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK: KM = 4:1.Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Проведём построения как показано на рисунке. Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и можно провести общую высоту тогда Откуда

Аналогично треугольники и имеют одну высоту, откуда Выразим площадь треугольника

Проведём прямую параллельную Прямая — параллельна следовательно, — средняя линия, значит, Рассмотрим треугольники и угол — общий, углы и равны как соответственные углы при параллельных прямых, откуда:

Значит, Аналогично рассмотренным выше случаям Следовательно, Заметим, что площадь треугольника можно выразить иначе: следовательно,

Найдём требуемое отношение:

Задание 25 № 315047. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.

Решение.

Рассмотрим треугольники следовательно эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, то есть треугольник — правильный.

За­да­ние 25 № 340243. В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB по­доб­ны.

Задание 25 № 340243. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.